Análisis de ACION del PRECIO antes aplicar una ESTRATEGIA de Opciones Binarias in Teoría y Análisis

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análisis del despacho del sistema de generación de el salvador .

análisis del despacho del sistema de generación de el salvador .

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UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSE SIMEON CAÑAS” ANÁLISIS DEL DESPACHO DEL SISTEMA DE GENERACIÓN DE EL SALVADOR TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PARA OPTAR AL GRADO DE INGENIERO ELECTRICISTA POR GERARDO ALBERTO GRANADA LÓPEZ ROBERTO CARLOS MARTÍNEZ MIRANDA MARIO ANTONIO ZALDÍVAR MÉNDEZ OCTUBRE 2004 SAN SALVADOR, EL SALVADOR, C.A.

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3 (H)=12 f (Viniendo de G) Reconstr

Minimizaremos la función de Lagran

La ecuación anterior nos indica b

Ejemplo 3C En este ejemplo se utili

Con: • Iteración 2 (Ver Tabla 3.

Con: J 20000 ∗ = J − q ∗ q

4.1 Introducción CAPITULO 4 COORDI

Debido a las particularidades de lo

4.4.1 Descripción del problema Par

Este diagrama servirá para definir

la coordinación hidrotérmica busc

Resultando: 63 tk dQj tk γ = λ t

Sujeto a las siguientes restriccion

El problema anterior es denominado

separable, el resultado de descompo

5.1 Introducción CAPITULO 5 PROGRA

Los métodos de optimizacion utiliz

satisfacción de la demanda en el p

5.4 Algoritmo del método de la rel

5.5 Implementación del programa me

En base a los datos de las unidades

Observamos la optimización del rec

t Pt(1) Pt(2) Pt(3) Ph(1) Ph(2) Pde

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Volumen del Agua en Hm 12 11 10 9 8

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Valor de Mw en $/MW Comparacion de

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Con los resultados del ejemplo ante

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96 Para la obtención de las curvas

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98 A partir de las curvas de eficie

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100 6.2.3 Generador Acajutla-u1 Los

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102 6.2.5 Generador Acajutla-u5 Los

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104 6.2.7 Generador CESSA Motor Com

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106 Las curvas importantes que se n

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108 6.3.1 Central Guajoyo La Figura

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110 6.3.3 Central 5 de Noviembre La

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112 6.4 Datos Semanales Como se men

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114 INFLUJOS NATURALES GUAJOYO (Mm

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116 Como se puede observar en las t

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118 INFLUJOS NATURALES GUAJOYO (Mm

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120 Como se puede observar en las t

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122 c) La administración del agua

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124 diariamente siendo estas las tr

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126 Las ofertas de oportunidad de r

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128 T ⎡ ⎤ Min ⎢∑ ( precios)

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130 Energía por recurso Térmico (

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132 Día Energía (MWh) Hidroeléct

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134 Energía (MWh) Día Hidroeléct

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136 Día Energía (MWh) Hidro Termi

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138 Volúmen (Mm3) 65 64 63 62 61 6

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140 Potencia (MW) 300 250 200 150 1

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142 Volúmen (Mm3) 2250 2230 2210 2

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144 Energía (MWh) Comparación de

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146 además esta central se asume q

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8.1 Conclusiones CAPITULO 8 CONCLUS

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GLOSARIO Contingencia. Estado anorm

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BIBLIOGRAFÍA Álvarez Arraigada, C

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Trigueros, José Luis [2002] Experi

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A-2 F = F + F (Ec. A.4) T 1 2 Adem

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A-4 dF1( P1) = λ −μ1 dP1 dF2( P

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ANEXO B. UTILIZACIÓN DE HERRAMIENT

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• Para que la celda objetivo teng

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Ejemplo: Suponga que se cuenta con

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• Combinación 2 • Combinación

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• Combinación 6 • Combinación

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B-11 A continuación se muestra com

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ANEXO C. MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

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cuadrática recursiva (Recursive Qu

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Algoritmo principal Un número de p

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0 es llamado el parámet»>Donde μ > 0 es llamado el parámet

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Preguntas frecuentes

¿Qué es la negociación de acciones en línea y cómo funciona?

La negociación en acciones en línea significa comprar y vender acciones de compañías que cotizan en la bolsa de valores.

El precio de una determinada acción es establecido por el número total de acciones que ha creado una empresa, generalmente medido en la moneda del mercado de valores en el que cotiza, por ejemplo, peniques (en el Reino Unido), euro (en Europa), yen (en Japón) y dólares estadounidenses (en los EE. UU.).

De acuerdo con la ley de la oferta y la demanda, cuando hay más negociantes que quieren comprar una compañía que venderla, el precio de sus acciones generalmente aumenta. Por el contrario, cuando hay más negociantes que quieren vender una compañía que comprarla, el precio de las acciones tiende a disminuir.

Para ver una lista completa de los CFD de acciones que ofrece Plus500, haga clic aquí.

¿Qué es la negociación en CFD de acciones?

La negociación en CFD de acciones es una forma de negociación que le permite especular sobre los precios de las empresas que cotizan en bolsa, como la Bolsa de Nueva York, la Bolsa de Londres, NASDAQ y la Bolsa de Tokio, sin la necesidad de poseer las acciones subyacentes.

Otra característica singular de la negociación en CFD de acciones es la capacidad de aumentar su exposición en el mercado a través del apalancamiento (o margen). Esto significa que usted solo necesita una fracción del valor total de la negociación.

¿En qué se diferencia la negociación en el mercado de valores de la negociación en Forex?

Las cinco diferencias principales entre la negociación en acciones y la negociación en Forex son:

  • Volumen de negociación – el mercado de Forex tiene un mayor volumen de negociación que el mercado de valores.
  • Diversidad de instrumentos – hay miles de acciones para elegir y varias docenas de pares de divisas.
  • Efecto precio – Los precios de las acciones se ven afectados principalmente por los «factores internos», como los informes financieros y otros eventos corporativos (dividendos, divisiones de acciones, etc.), mientras que los pares de divisas se ven influenciados principalmente por «factores externos», como los cambios políticos y económicos positivos o negativos entre países/regiones.
  • Volatilidad del mercado – los precios de las acciones pueden fluctuar extremadamente de un día a otro, y sus fluctuaciones son generalmente más acentuadas que las que se encuentran en los mercados de Forex.
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Por favor tenga en cuenta que al negociar con Forex o CFD sobre acciones usted no posee realmente el instrumento subyacente, sino que está negociando sobre su cambio de precio anticipado.

¿Cómo empezar el day trading en los precios del mercado bursátil?

Siga estos pasos para comenzar a negociar CFD de acciones con Plus500:

  1. Si todavía no tiene una cuenta Plus500, abra una Cuenta de Negociación Aquí.
  2. Complete el registro de su cuenta y la verificación de documentos, luego deposite fondos.
  3. Para buscar una acción específica, haga clic en la barra de búsqueda y escriba el nombre o el símbolo de la compañía.
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Análisis de ACION del PRECIO antes aplicar una ESTRATEGIA de Opciones Binarias in Teoría y Análisis del Precio en Opciones Binarias

Modelos Deterministas:
Optimizaciуn Lineal

Esta es la versiуn en Espaсol del sitio Web principal en Inglйs, el cual se encuentra disponible en:
Linear Programming

Un modelo de Optimizaciуn Matemбtica consiste en una funciуn objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de optimizaciуn son usados en casi todas las бreas de toma de decisiones, como en ingenierнa de diseсo y selecciуn de carteras financieras de inversiуn . Esta pagina web presenta ejemplos focalizados y estructurados para la formulaciуn de problemas de optimizaciуn, diseсo de la estrategia optima y herramientas de control de calidad que incluyen validaciуn, verificaciуn y anбlisis post-soluciуn.

Para buscar el sitio , proba en Edicion | Encotrar en la pбgina [Ctrl + f]. Escribi una palabra o frase en el espacio del diбlogo. Por ejemplo » optimizaciуn» o » sensibilidad» Si el primer resultado de la palabra o la frase no es lo que vos buscabas, intenta con E ncuentra Prуximo .

Introducciуn y Resumen

Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al problema constante de mejorar (por ejemplo, optimizar) el rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operaciуn y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable cumpliendo a la vez con las reglamentaciones gubernamentales establecidas, o «mejorar» un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representaciуn sintйtica o modelo del sistema fнsico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas.

Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografнa es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen. La presiуn arterial puede utilizarse como un modelo de la salud de una persona. Una campaсa piloto de ventas puede utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo producto. Por ъltimo, una ecuaciуn matemбtica puede utilizarse como un modelo de la energнa contenida en un determinado material. En cada caso, el modelo captura algъn aspecto de la realidad que intenta representar.

Ya que un modelo sуlo captura determinados aspectos de la realidad, su uso puede no ser apropiado en una aplicaciуn en particular porque no captura los elementos correctos de la realidad. La temperatura es un modelo de las condiciones climбticas pero puede ser inapropiado si uno estб interesado en la presiуn baromйtrica. Una foto de una persona es un modelo de la misma pero brinda poca informaciуn acerca de sus logros acadйmicos. Una ecuaciуn que predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de producciуn por unidad. Por lo tanto, la utilidad del modelo depende del aspecto de la realidad que representa.

Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los elementos apropiados de la realidad si lo hace de una manera distorsionada o sesgada. Una ecuaciуn que pronostica el volumen mensual de ventas puede ser exactamente lo que el gerente de ventas quiere pero podrнa generar grandes pйrdidas si arroja constantemente cбlculos de ventas altos. Un termуmetro que lee de mбs (o de menos) tendrнa poca utilidad para realizar un diagnуstico mйdico. En consecuencia, un modelo ъtil es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisiуn.

Un modelo matemбtico es una ecuaciуn, desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del sistema fнsico representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida en las ciencias fнsicas, en el campo de la ingenierнa, los negocios y la economнa.

Un modelo ofrece al analista una herramienta que puede manipular en su anбlisis del sistema en estudio, sin afectar al sistema en sн. Por ejemplo, supуngase que se ha desarrollado un modelo matemбtico para predecir las ventas anuales como una funciуn del precio de venta unitario. Si se conoce el costo de producciуn por unidad, se pueden calcular con facilidad las utilidades anuales totales para cualquier precio de venta. Para determinar el precio de venta que arrojarб las utilidades totales mбximas, se pueden introducir en el modelo distintos valores para el precio de venta, uno a la vez, determinando las ventas resultantes y calculando las utilidades anuales totales para cada valor de precio de venta examinado. Mediante un proceso de prueba y error, el analista puede determinar el precio de venta que maximizarб las utilidades anuales totales.

Lo ideal serнa que si el modelo matemбtico es una representaciуn vбlida del rendimiento del sistema, mediante la aplicaciуn de las tйcnicas analнticas adecuadas, la soluciуn obtenida a partir del modelo deberнa ser tambiйn la soluciуn para el problema del sistema. Asн, la efectividad de los resultados de la aplicaciуn de cualquier tйcnica operativa es en gran medida una funciуn del grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio.

A fin de definir las condiciones que nos conducirбn a la soluciуn del problema del sistema, el analista primero debe identificar un criterio segъn el cual se podrб medir el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento del sistema o medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida generalmente se define en tйrminos de un нndice costo/beneficio.

El modelo matemбtico que describe el comportamiento de la medida de efectividad se denomina funciуn objetivo. Si la funciуn objetivo es describir el comportamiento de la medida de efectividad, debe capturar la relaciуn entre esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida fluctъe. Las variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisiуn y parбmetros. Una variable de decisiуn es una variable que puede ser directamente controlada por el decisor. Tambiйn existen algunos parбmetros cuyos valores pueden ser inciertos para el decisor. Esto requiere un anбlisis de sensibilidad despuйs de descubrir la mejor estrategia. En la prбctica, resulta casi imposible capturar la relaciуn precisa entre todas las variables del sistema y la medida de efectividad a travйs de una ecuaciуn matemбtica. En cambio, el analista de IO/CA debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lуgica la relaciуn matemбtica entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relaciуn matemбtica es la funciуn objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio.

La formulaciуn de una funciуn objetivo que tenga sentido normalmente es una tarea tediosa y frustrante. Los intentos de desarrollo de una funciуn objetivo pueden terminar en un fracaso. Esto puede darse porque el analista elige el conjunto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien, si el conjunto es el adecuado, porque no identifica correctamente la relaciуn entre estas variables y la medida de efectividad. En un nuevo intento, el analista trata de descubrir las variables adicionales que podrнan mejorar su modelo descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia. No obstante, sуlo se puede determinar si estos factores realmente mejoran el modelo una vez realizadas la formulaciуn y prueba de nuevos modelos que incluyan las variables adicionales. Todo el proceso de selecciуn y rechazo de variables puede requerir reiteraciones mъltiples hasta desarrollar una funciуn objetivo satisfactoria. En cada iteraciуn, el analista espera lograr alguna mejora en el modelo, aunque no siempre se tiene tanta buena suerte. Por lo general, el йxito final es precedido por una serie de fracasos frustrantes y pequeсos progresos.

En cada etapa del proceso de desarrollo, el analista debe evaluar la correspondencia o validez del modelo. Normalmente se emplean dos criterios para realizar esta determinaciуn. El primero implica la experimentaciуn del modelo: someter el modelo a una serie de condiciones y registrar los valores asociados de la medida de efectividad dada por el modelo en cada caso. Si la medida de efectividad varнa de manera antinatural con una sucesiуn de condiciones de entrada, es posible que la funciуn objetivo no sea vбlida. Por ejemplo, supуngase que se desarrolla un modelo destinado a calcular el valor de mercado de viviendas unifamiliares. El modelo debe expresar el valor de mercado en dуlares como una funciуn de la superficie cubierta en pies cuadrados, cantidad de dormitorios, cantidad de baсos y tamaсo del lote. Despuйs de desarrollar el modelo, el analista lo aplica a la tasaciуn de distintas viviendas, con distintos valores para las caracterнsticas mencionadas y descubre que el valor de mercado desciende a medida que aumenta la superficie cubierta expresada en pies cuadrados. Dado que este resultado no concuerda con la realidad, el analista cuestionarнa la validez del modelo. Por otro lado, supуngase que el modelo es tal que el valor de las viviendas es una funciуn creciente de cada una de las cuatro caracterнsticas citadas, como generalmente es de esperar. Si bien este resultado es alentador, no necesariamente implica que el modelo es una representaciуn vбlida de la realidad, dado que la tasa de aumento de cada variable puede ser excesivamente alta o baja. La segunda etapa de la validaciуn del modelo requiere una comparaciуn de los resultados del modelo con los resultados obtenidos en la realidad.

Optimizaciуn

Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto deberнa escribirse en una expresiуn matemбtica que contenga una o mбs variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en tйrminos generales, es quй valores deberнan tener estas variables para que la expresiуn matemбtica tenga el mayor valor numйrico posible (maximizaciуn) o el menor valor numйrico posible (minimizaciуn). A este proceso general de maximizaciуn o minimizaciуn se lo denomina optimizaciуn.

La optimizaciуn, tambiйn denominada programaciуn matemбtica, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor producciуn o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera mбs eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas de optimizaciуn generalmente se clasifican en lineales y no lineales, segъn las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes de software para resolver problemas de optimizaciуn. Por ejemplo, LINDO o WinQSB resuelven modelos de programas lineales y LINGO y What’sBest! resuelven problemas lineales y no lineales.

La Programaciуn Matemбtica , en general, aborda el problema de determinar asignaciones уptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar la/s que maximiza/n o minimiza/n alguna cantidad numйrica tal como ganancias o costos.

El objetivo de la optimizaciуn global es encontrar la mejor soluciуn de modelos de decisiones difнciles, frente a las mъltiples soluciones locales.

Programaciуn Lineal (PL)

La Programaciуn Lineal (PL) es un procedimiento matemбtico para determinar la asignaciуn уptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicaciуn prбctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificaciуn de la producciуn. Problemas de transporte, distribuciуn, y planificaciуn global de la producciуn son los objetos mбs comunes del anбlisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario mбs frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculу que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informбtico de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.

La programaciуn lineal aborda una clase de problemas de programaciуn donde tanto la funciуn objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la dйcada del 40. Rara vez una nueva tйcnica matemбtica encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prбcticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teуrico tan exhaustivo en un perнodo tan corto. Hoy en dнa, esta teorнa se aplica con йxito a problemas de presupuestos de capital, diseсo de dietas, conservaciуn de recursos, juegos de estrategias, predicciуn de crecimiento econуmico y sistemas de transporte. Recientemente la teorнa de la programaciуn lineal tambiйn contribuyу a la resoluciуn y unificaciуn de diversas aplicaciones.

Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el tйrmino «programaciуn» tiene un significado distinto cuando se refiere a Programaciуn Lineal que cuando hablamos de Programaciуn Informбtica. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar cбlculos. La capacitaciуn en una clase de programaciуn tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programaciуn. De hecho, el tйrmino «programaciуn lineal» se acuсу antes de que la palabra programaciуn se relacionara con el software de computaciуn. A veces se evita esta confusiуn utilizando el tйrmino optimizaciуn lineal como sinуnimo de programaciуn lineal.

Cualquier problema de PL consta de una funciуn objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayorнa de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se darб cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia. Sin deseo, no hay dolor. їPuede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?

Quй es una funciуn: una funciуn es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una mбquina de moler cafй es una funciуn que transforma los granos de cafй en polvo. La funciуn (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado regiуn factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores mбximo y mнnimo.

Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:

1. La funciуn objetivo debe ser lineal . Vale decir que se debe verificar que todas las variables estйn elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);

2. El objetivo debe ser ya sea la maximizaciуn o minimizaciуn de una funciуn lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y

  • 3. Las restricciones tambiйn deben ser lineales . . Asimismo, la restricciуn debe adoptar alguna de las siguientes formas ( £ , ³ , O =, es decir que las restricciones de PL siempre estбn cerradas ).
  • Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a 1. Este problema tan sencillo no tiene soluciуn.

    Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimizaciуn como un problema de PL. їEl siguiente problema es un problema de PL?

    Max X2
    sujeta a:
    X1 + X2 £ 0
    X1 2 – 4 £ 0

    Aunque la segunda restricciуn parece «como si» fuera una restricciуn no lineal, esta restricciуn puede escribirse tambiйn de la siguiente forma:
    X1 ³ -2, y X2 £ 2.
    En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.

    Para la mayorнa de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamaсo de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como «producir acero con bajo contenido de carbono», y «producir acero con alto contenido de carbono». Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una funciуn objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisiуn. El problema es determinar la mejor combinaciуn de niveles de actividades, que no utilice mбs recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los dнas. Afortunadamente, el software de programaciуn lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado.

    El mйtodo Simplex es un algoritmo de soluciуn muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

    Proceso de Formulaciуn de un Problema de PL y su Aplicaciуn

    Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisiуn, los parбmetros, la funciуn objetivo y un conjunto de restricciones. Al formular un determinado problema de decisiуn en forma matemбtica, debe practicar la comprensiуn del problema (es decir, formular un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formъlese las siguientes preguntas generales:

    1. їCuбles son las variables de decisiуn? Es decir, їcuбles con las entradas controlables? Defina las variables de decisiуn con precisiуn utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables tambiйn se conocen como actividades controlables, variables de decisiуn y actividades de decisiуn.
    2. Cuбles son los parбmetros? Vale decir їcuбles son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numйricos constantes dados. Defina los parбmetros con precisiуn utilizando nombres descriptivos.
    3. їCuбl es el objetivo? їCuбl es la funciуn objetivo? Es decir, їquй quiere el dueсo del problema? їDe quй manera se relaciona el objetivo con las variables de decisiуn del dueсo del problema? їEs un problema de maximizaciуn o minimizaciуn? El objetivo debe representar la meta del decisor.
    4. їCuбles son las restricciones? Es decir, їquй requerimientos se deben cumplir? їDeberнa utilizar un tipo de restricciуn de desigualdad o igualdad? їCuбles son las conexiones entre las variables? Escrнbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemбtica.

    Recuerde que la regiуn factible tiene poco o nada que ver con la funciуn objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier formulaciуn de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La funciуn objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la regiуn factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas limitaciones / condiciones para lograr su objetivo.

    A continuaciуn, se incluye un problema ilustrativo muy sencillo. Sin embargo, el abordaje del problema es igual para una gran variedad de problemas de toma de decisiуn, mientras que el tamaсo o la complejidad pueden variar. El primer ejemplo es un problema de mix de productos y el segundo es un problema de mezcla.

    El Problema del Carpintero

    El objetivo es determinar cuбntas mesas y sillas deberнa fabricar para maximizar sus ingresos netos . Comenzamos concentrбndonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificaciуn , , para revisar nuestra soluciуn semanalmente, si fuera necesario. Para saber mбs acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.

    El problema del carpintero se trata de determinar cuбntas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una funciуn objetivo La funciуn objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dуlares o dйcimas de dуlares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior , son las limitaciones de la mano de obra (esta limitaciуn proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitaciуn proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producciуn requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del dнa y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sуlo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulaciуn de PL es la siguiente:

    Maximizar 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40 restricciуn de mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn de materiales
    tanto X1 como X2 son no negativas.

    Este es un modelo matemбtico para el problema del carpintero. Las variables de decisiуn , es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisiуn estбn elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnolуgicos (matriz) . El perнodo de revisiуn es de una semana, un perнodo conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctъen) las entradas controlables (todos los parбmetros tales como 5, 50, 2. ). Incluso en un plazo de planificaciуn tan corto, debemos realizar el anбlisis what-if o de hipуtesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema , es decir, actualizar la soluciуn prescripta.

    Nуtese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificaciуn, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser nъmeros enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad tambiйn se denominan «restricciones implнcitas». Nuevamente, un Programa Lineal funcionarнa bien para este problema si el Carpintero continъa fabricando estos productos. Los artнculos parciales simplemente se contarнan como trabajos en proceso y finalmente se transformarнan en productos terminados, en la siguiente semana.

    Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una soluciуn) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologнas preferidas (mбs eficientes y efectivas), conocidas como las Tйcnicas de Soluciones de Programaciуn Lineal estбn disponibles en el mercado en mбs de 4000 paquetes de software de todo el mundo.

    La soluciуn уptima , es decir, la estrategia уptima , , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (уptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta soluciуn prescripta sorprendiу al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solнa fabricar mбs mesas que sillas.

    їContratar o no contratar a un ayudante? Supуngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) їLe conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, їpor cuбntas horas?

    X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es:

    Maximizar 5 X1 + 3 X2 – 2 X3

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40 + X3 restricciуn de la mano de obra con horas adicionales desconocidas
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn de materiales

    En esta nueva condiciуn, veremos que la soluciуn уptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos уptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero deberнa contratar a un ayudante por 60 horas. їQuй pasarнa si sуlo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo «quй pasarнa si» (what-if) se estudia en la secciуn sobre anбlisis de sensibilidad en este sitio Web.

    Un Problema de Mezcla

    Esto es una pregunta de programaciуn linear. Una porciуn de un cambio del aceite o del ajuste no es factible.
    X1 = Cambios del aceite, ajuste
    X2 = Ajuste

    Maximizar 7X1 + 15X2

    Sujeta a:
    X1 ³ 30 Cuenta De la Flota
    20X1 + 60X2 £ 4800 De trabajo tiempo
    8X1 + 15X2 £ 1750 Primas Materias
    X1 ³ 0, X2 ³ 0.

    El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formatar el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideraciуn el coste de trabajo.

    Otras Aplicaciones Comunes de PL

    Finanzas: el problema del inversor podrнa ser un problema de selecciуn del mix de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas mбs restricciones distintas. Otro problema de decisiуn implica determinar la combinaciуn de mйtodos de financiaciуn para una cantidad de productos cuando existe mбs de un mйtodo de financiaciуn disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del mйtodo de financiaciуn. Por ejemplo, se puede financiar con fondos internos, con deuda a corto plazo o con financiaciуn intermedia (crйditos amortizados). Puede haber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de financiaciуn, asн como tambiйn restricciones financieras que exijan determinadas relaciones entre las opciones de financiaciуn a los efectos de satisfacer los tйrminos y condiciones de los prйstamos bancarios o financiaciуn intermedia. Tambiйn puede haber lнmites con respecto a la capacidad de producciуn de los productos. Las variables de decisiуn serнan la cantidad de unidades que deben ser financiadas por cada opciуn de financiaciуn.

    Administraciуn de Producciуn y Operaciones: muchas veces en las industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefaccionar y distintas clases de aceite para motor. Segъn el margen de ganancia actual de cada producto, el problema es determinar la cantidad que se deberнa fabricar de cada producto. Esta decisiуn estб sujeta a numerosas restricciones tales como lнmites de las capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima, demandas de cada producto y polнticas gubernamentales con respecto a la fabricaciуn de determinados productos. En la industria de productos quнmicos y de procesamiento de alimentos existen problemas similares.

    Recursos Humanos: los problemas de planificaciуn de personal tambiйn se pueden analizar con programaciуn lineal. Por ejemplo, en la industria telefуnica, la demanda de servicios de personal de instalaciуn / reparaciуn son estacionales. El problema es determinar la cantidad de personal de instalaciуn / reparaciуn y reparaciуn de lнneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada mes a fin de minimizar los costos totales de contrataciуn, despido, horas extras y salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra, acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para contratar. Este ejemplo es opuesto a la hipуtesis de divisibilidad. Sin embargo, los niveles de fuerza laboral de cada mes normalmente son lo suficientemente altos como para poder redondear al nъmero entero mбs cercano sin problemas, siempre y cuando no se violen las restricciones.

    Marketing: se puede utilizar la programaciуn lineal para determinar el mix adecuado de medios de una campaсa de publicidad. Supуngase que los medios disponibles son radio, televisiуn y diarios. El problema es determinar cuбntos avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocaciуn de un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la campaсa publicitaria, sujeto a una serie de restricciones. Dado que cada medio puede proporcionar un grado diferente de exposiciуn a la poblaciуn meta, puede haber una cota inferior con respecto a la exposiciуn de la campaсa. Asimismo, cada medio puede tener distintos ratings de eficiencia para producir resultados deseables y por consiguiente puede haber una cota inferior con respecto a la eficiencia. Ademбs, puede haber lнmites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio.

    Distribuciуn: otra aplicaciуn de programaciуn lineal es el бrea de la distribuciуn. Considere un caso en el que existen m fбbricas que deben enviar productos a n depуsitos. Una determinada fбbrica podrнa realizar envнos a cualquier cantidad de depуsitos. Dado el costo del envнo de una unidad del producto de cada fбbrica a cada depуsito, el problema es determinar el patrуn de envнo (cantidad de unidades que cada fбbrica envнa a cada depуsito) que minimice los costos totales. Este decisiуn estб sujeta a restricciones que exigen que cada fбbrica no pueda enviar mбs productos de los que tiene capacidad para producir.

    Mйtodo de Soluciуn Grбfica

    Procedimiento para el Mйtodo Grбfico de Soluciуn de Problemas de PL:

      їEl problema es un problema de PL? La respuesta es afirmativa si y sуlo si:

    Todas las variables estбn elevadas a la primera potencia y son sumadas o restadas (no dividas ni multiplicadas). La restricciуn debe adoptar alguna de las siguientes formas ( £ , ³ , o =, es decir que las restricciones de PL siempre estбn cerradas), y el objetivo debe ser de maximizaciуn o minimizaciуn.

    Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a . Este problema tan sencillo no tiene soluciуn.

    їPuedo utilizar el mйtodo grбfico? La respuesta es afirmativa si la cantidad de variables de decisiуn es 1 o 2.

    Utilice papel milimetrado. Grafique cada restricciуn, una por una, como si fueran igualdades (como si todo £ y ³ , es = ) y luego trace la lнnea.

    A medida que se crea cada lнnea, divida la regiуn en 3 partes con respecto a cada lнnea. Para identificar la regiуn factible para esta restricciуn en particular, elija un punto en cualquier lado de la lнnea y coloque sus coordenadas en la restricciуn, si satisface la condiciуn, este lado es factible, de lo contrario el otro lado es factible. En el caso de restricciones de igualdad, sуlo los puntos sobre la lнnea son factibles.

    Elimine los lados que no son factibles.

    Una vez graficadas todas las restricciones, debe generarse una regiуn factible no vacнa (convexa), salvo que el problema sea no factible.

    Cree (como mнnimo) dos lнneas de igual valor desde la funciуn objetivo, fijando la funciуn objetivo en dos nъmeros distintos cualquiera. Grafique las lнneas resultantes. Al mover estas lнneas paralelas, encontrarб el vйrtice уptimo (punto extremo), si es que existe.

    En general, si la regiуn factible se encuentra dentro del primer cuadrante del sistema de coordenadas (es decir si X1 y X2 ³ 0), entonces, para los problemas de maximizaciуn, usted debe mover la funciуn objetivo de igual valor (funciуn iso) paralela a sн misma lejos del punto de origen (0, 0), como mнnimo, teniendo a la vez un punto en comъn con la regiуn factible. Sin embargo, para los problemas de minimizaciуn, debe realizar lo opuesto, es decir, mover la funciуn objetivo de igual valor (funciуn iso) paralela a sн misma acercбndola al punto de origen , a su vez teniendo como mнnimo un punto en comъn con la regiуn factible. El punto comъn proporciona la soluciуn уptima.

    Recuerde que las restricciones de PL proporcionan los vйrtices y las esquinas. Un vйrtice es la intersecciуn de 2 lнneas o en general, n hiperplanos en problemas de PL con n variables de decisiуn. Una esquina es un vйrtice que ademбs es factible.

    Un Ejemplo Numйrico: El Problema del Carpintero

    Maximizar 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40
    X1 + 2 X2 £ 50
    and both X1, X2 are non-negative.

    Nota: Existe una alternativa del abordaje de la funciуn objetivo de igual valor (funciуn iso) con problemas que tienen pocas restricciones y una regiуn factible acotada. Primero busque todas las esquinas, tambiйn llamadas puntos extremos. Luego, evalъe la funciуn objetivo en los puntos extremos para llegar al valor уptimo y a la soluciуn уptima.

    Por ejemplo, en el problema del carpintero, la regiуn factible convexa proporciona los puntos extremos con las coordenadas que figuran en la siguiente Tabla:

    Valor de la Funciуn Objetivo en cada Esquina o Punto Extremo

    Elecciones del Decisor Coordenadas de los Puntos Extremos Funciуn de los Ingresos Netos
    Cantidad de Mesas o Sillas X1, X2 5 X1 + 3 X2
    No fabricar ninguna mesa ni silla 0, 0 0
    Fabricar todas la mesas posibles 20, 0 100
    Fabricar todas las sillas posibles 0, 25 75
    Fabricar una combinaciуn de productos 10, 20 110

    Dado que el objetivo es maximizar, de la tabla anterior surge que el valor уptimo es 110, el cual se obtiene si el carpintero sigue la estrategia уptima de X1 = 10 y X2 = 20.

    La principal deficiencia del mйtodo grбfico es que se limita a resolver problemas lineales que tengan sуlo 1 o 2 variables de decisiуn. Sin embargo, la conclusiуn principal y ъtil a la que podemos arribar a partir del anбlisis de los mйtodos grбficos es la siguiente:

    Si un programa lineal tiene una regiуn factible acotada no vacнa, la soluciуn уptima es siempre uno de los puntos extremos. .

    La prueba de esta afirmaciуn surge de los resultados de los siguientes dos hechos:

    Hecho N° 1: La regiуn factible de cualquier programa lineal es siempre un conjunto convexo.

    Debido a que todas las restricciones son lineales, la regiуn factible (R.F.) es un polнgono. Ademбs, este polнgono es un conjunto convexo. En cualquier problema de PL que tenga mбs de dos dimensiones, los lнmites de la regiуn factible son partes de los hiperplanos, y la regiуn factible en este caso se denomina poliedro y tambiйn es convexa. Un conjunto convexo es aquel en el cual si se eligen dos puntos factibles, todos los puntos en el segmento de la lнnea recta que une estos dos puntos tambiйn son factibles. La prueba de que la regiуn factible de los programas lineales son siempre conjuntos convexos surge por contradicciуn. Las siguientes figuras ilustran ejemplos de los dos tipos de conjuntos: un conjunto no convexo y un conjunto convexo.

    El conjunto de la regiуn factible en cualquier programa lineal se denomina poliedro y si estб acotado se denomina politopo .

    Hecho N° 2: El valor iso de una funciуn objetivo de un programa lineal es siempre una funciуn lineal.

    Este hecho surge de la naturaleza de la funciуn objetivo de cualquier problema de PL. Las siguientes figuras ilustran las dos clases tнpicas de funciones objetivo de igual valor (funciуn iso).

    De la combinaciуn de los dos hechos expresados arriba surge que si un programa lineal tiene una regiуn factible acotada no vacнa, la soluciуn уptima es siempre uno de los puntos extremos.

    Para superar la deficiencia del mйtodo grбfico, utilizaremos esta conclusiуn ъtil y prбctica en el desarrollo de un mйtodo algebraico aplicable a problemas de PL multidimensionales.

    La convexidad de la regiуn factible de los programas lineales facilita la resoluciуn de problemas de PL. Debido a esta propiedad y a la linealidad de la funciуn objetivo, la soluciуn es siempre uno de los vйrtices. Asimismo, dado que la cantidad de vйrtices es limitada, todo lo que debemos hacer es buscar todos los vйrtices factibles y luego evaluar la funciуn objetivo en dichos vйrtices para encontrar el punto уptimo.

    En el caso de programas no lineales, el problema es mucho mбs difнcil de resolver porque la soluciуn podrнa estar en cualquier parte dentro de la regiуn factible, en el lнmite de la regiуn factible o en un vйrtice.

    Por suerte, la mayorнa de los problemas de optimizaciуn empresarial son lineales y es por eso que la PL es tan popular. Hoy en dнa, existen mбs de 400 paquetes de software en el mercado para resolver problemas de PL. La mayorнa se basa en la bъsqueda de vйrtices. Esto equivale a pasar de un vйrtice a otro cercano en busca de un punto уptimo.

    Vнnculo entre Programaciуn Lineal y Sistemas de Ecuaciones

    Por ejemplo, en el caso del Problema del Carpintero, se pueden calcular todas las soluciones bбsicas, tomando dos ecuaciones cualquiera y resolviйndolas al mismo tiempo. Luego, se utilizan las restricciones de las otras ecuaciones para verificar la factibilidad de esta soluciуn. Si es factible, esta soluciуn es una soluciуn bбsica factible que proporciona las coordenadas de un punto extremo de la regiуn factible. Para ilustrar el procedimiento, considere las restricciones del Carpintero en la posiciуn obligatoria (es decir todas con signo =):

    2X1 + X2 = 40
    X1 + 2X2 = 50
    X1 = 0
    X2 = 0

    Aquн tenemos 4 ecuaciones con 2 incуgnitas. Existen como mбximo C 4 2 = 4! / (2! 2!) = 6 soluciones bбsicas. Si resolvemos los seis sistemas de ecuaciones resultantes tenemos:

    Seis Soluciones Bбsicas con Cuatro Soluciones Bбsicas Factibles

    X1 X2 5X1 + 3X2
    10 20 110*
    0 40 No factible
    20 0 100
    0 25 75
    50 0 No factible
    0 0 0

    Cuatro de las soluciones bбsicas que figuran arriba son soluciones bбsicas factibles que satisfacen todas las restricciones y pertenecen a los vйrtices de la regiуn factible. Al incluir la soluciуn bбsica factible en la funciуn objetivo, podemos calcular el valor уptimo. Entonces, de la tabla anterior surge que la soluciуn уptima es X1 = 10, X2 = 20, con un valor уptimo de US$110. Este abordaje puede aplicarse para resolver problemas de PL de mбs dimensiones.

    Extensiуn a Mayores Dimensiones

    Ejemplo Numйrico: el Problema del Transporte

    Matriz de Costo Unitario de Transporte
    D1 D2 Oferta
    O1 20 30 200
    O2 10 40 100
    Demanda 150 150 300

    Xij representa la cantidad de productos enviados desde el origen i hasta el destino j. La formulaciуn de PL del problema de minimizaciуn del costo total de transporte es la siguiente:

    Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

    Sujeta a:
    X11 + X12 = 200
    X21 + X22 = 100
    X11 + X21 = 150
    X12 + X22 = 150
    todas Xij ³ 0

    Como este problema de transporte es equilibrado (oferta total = demanda total) todas las restricciones estбn en forma de igualdad. Ademбs, cualquiera de las restricciones es redundante (si se suman dos restricciones cualquiera y se resta otra obtenemos la restricciуn restante). Borremos la ъltima restricciуn. El problema entonces queda asн:

    Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

    Sujeta a:
    X11 + X12 = 200
    X21 + X22 = 100
    X11 + X21 = 150
    todas Xij ³ 0

    Este problema de PL no se puede resolver mediante el mйtodo grбfico. Sin embargo, el mйtodo algebraico no tiene ninguna limitaciуn con respecto a la dimensiуn de PL. Nуtese que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisiуn restringidas. Fijando cualquiera de las variables en cero obtenemos:

    X11 X12 X21 X22 Costo Total de Transporte
    0 200 150 -50
    No factible
    200 0 -50 150 No factible
    150 50 0 100 8500
    50 150 100 0 6500*

    Ahora poniendo cualquier y dos (o mбs) las variables para poner cero de a, es fбcil de ver, inspeccionando las tres ecuaciones que todas las otras soluciones son no factible.

    Por lo tanto, la estrategia уptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con un costo total de transporte mнnimo de US$6.500.

    Si lo desea, puede resolver este problema con Modul Net.Exe en el paquete WinQSB para verificar estos resultados.

    Para obtener una versiуn mбs detallada del Mйtodo Algebraico, visite el sitio Toward the Simplex Method

    Conceptos y Tйcnicas de Aprendizaje Asistidos por Computadora

    Los programas lineales reales siempre se resuelven por computadora. Por lo general las computadoras utilizan el mйtodo simplex para llegar a las soluciones. Los coeficientes de la funciуn objetivo se denominan coeficientes de costos (porque histуricamente durante la Segunda Guerra Mundial, el primer problema de PL fue un problema de minimizaciуn de costos), coeficientes tecnolуgicos y valores RHS (o valores del lado derecho). Esta es la manera perfecta de aprender conceptos del anбlisis de sensibilidad. Como usuario, usted puede darse el lujo de ver resultados numйricos y compararlos con lo que usted espera ver.

    El paquete LINDO es un software muy utilizado para problemas de PL. Se puede bajar una versiуn para Windows gratuita en la pбgina Home de LINDO en LINDO, http://www.lindo.com. En este sitio se explica como ejecutar e interpretar los resultados del paquete LINDO.

    ЎPrecauciуn! Antes de utilizar cualquier software, verifique que sea confiable.

    Aquн encontrarб una Guнa de Software de PL para su revisiуn: LP Software Guide.

    Cуmo Interpretar los Resultados del Paquete de Software LINDO

    Lindo es un paquete de software muy popular que resuelve problemas lineales. La aplicaciуn LP/ILP de WinQSB realiza las mismas operaciones que Lindo pero de una manera mucho mбs fбcil de usar.
    El nombre LINDO es la abreviatura en inglйs de L inear IN teractive D iscrete O ptimization (Optimizaciуn Lineal Discreta e INteractiva). Aquн la palabra «discreta» significa pasar de una soluciуn factible bбsica a la siguiente en lugar de desplazarse por toda la regiуn factible en busca de la soluciуn bбsica factible уptima (si la hubiere).

    Al igual que todos los paquetes de PL, tal como WinQSB, Lindo emplea el mйtodo simplex. Junto con la soluciуn del problema, el programa tambiйn proporciona un anбlisis comъn de sensibilidad de los Coeficientes de la Funciуn Objetivo (denominados Coeficientes de Costos) y el RHS de las restricciones. A continuaciуn, presentamos una explicaciуn de los resultados del paquete LINDO.

    Supуngase que usted desea correr el Problema del Carpintero. Inicie el paquete LINDO (o WinQSB). Desde el teclado escriba lo siguiente en la venta actual:

    MAX 5X1 + 3X2
    S.T. 2X1 + X2 40
    X1 + 2X2 50
    End

    NOTA:

    1. La funciуn objetivo no deberнa contener ninguna restricciуn. Por ejemplo, no se puede ingresar Max 2X1 + 5.
    2. Todas las variables deben aparecer en el lado izquierdo de las restricciones, mientras que los valores numйricos deben aparecer en el lado derecho de las restricciones (es por eso que a estos nъmeros se los denomina valores RHS o valores del lado derecho).
    3. Se presupone que todas las variables son no negativas. No ingrese las condiciones de no negatividad.

    Si desea obtener todas Tablas Simplex, entonces

      Haga clic en «Reports» (Informes) y luego elija «Tableau» (Tabla), luego haga clic en «Solve» (Resolver) y elija «Pivot» haga clic en «OK» (Aceptar), «Close» (Cerrar), «Cancel» (Cancelar), continъe de esta manera hasta que aparezca el mensaje «Do? Range (Sensitivity) Analysis» (Desea realizar un anбlisis de rango [de sensibilidad]?). Seleccione «Yes» (Sн), si lo desea. Despuйs de minimizar la ventana actual, verб el resultado que puede imprimir para su anбlisis gerencial.

  • De lo contrario, haga clic en «Solve» (Resolver), y luego elija «Solve» (Resolver).
  • Es conveniente copiar el problema de PL de la primera ventana y luego pegarlo en la parte superior de la pбgina de resultado.

    En la parte superior de la pбgina aparece la tabla inicial y a lo largo de la parte superior de la tabla figuran las variables. La primera fila de la tabla es la funciуn objetivo. La segunda fila es la primera restricciуn. La tercera fila es la segunda restricciуn y asн sucesivamente hasta enumerar todas las restricciones en la tabla.

    Despuйs de la tabla inicial aparece un enunciado que indica la variable de entrada y la variable de salida. La variable de salida estб expresada como la fila donde se colocarб la variable de entrada. Luego se imprime la primera tabla de iteraciones. Se sigue ingresando sentencias y continъan las iteraciones de la tabla continъan hasta llegar a la soluciуn уptima.

    La siguiente sentencia, `LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2′ (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 2) indica que se encontrу la soluciуn уptima en la iteraciуn 2 de la tabla inicial. Inmediatamente debajo aparece el уptimo del valor de la funciуn objetivo. Este es el dato mбs importante que le interesa a todo gerente.

    Muchas veces, aparecerб un mensaje que lo sorprenderб: «LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0» (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 0). їCуmo puede ser paso 0? їNo es necesario primero desplazarse para encontrar un resultado. Este mensaje es muy confuso. Lindo lleva un registro en su memoria de todas la actividades previas realizadas antes de resolver cualquier problema que usted ingrese. Por lo tanto, no muestra exactamente cuбntas iteraciones fueron necesarias para resolver el problema en cuestiуn. A continuaciуn presentamos una explicaciуn detallada y una soluciуn para saber con exactitud la cantidad de iteraciones: Supуngase que usted corre el problema mбs de una vez o resuelve un problema similar. Para saber cuбntas iteraciones lleva realmente resolver un problema en particular, debe salir de Lindo y luego reingresar, volver a escribir y a presentar el problema. De esta manera aparecerб la cantidad exacta de vйrtices (excluyendo el origen) visitados para llegar a la soluciуn уptima (si es que existe) en forma correcta.

    Despuйs de esto sigue la soluciуn del problema, es decir la estrategia para fijar las variables de decisiуn a fin de lograr el valor уptimo antes mencionado. Esto aparece con una columna de variables y una columna de valores. La columna de valores contiene la soluciуn del problema. La reducciуn de costos asociada con cada variable se imprime a la derecha de la columna de valores. Estos valores se toman directamente de la tabla simplex final. La columna de valores proviene del RHS. La columna de reducciуn de costos proviene directamente de la fila indicadora.

    Debajo de la soluciуn, aparecen los valores de las variables de holgura / excedente de la tabla final. Los valores de las variables de holgura / excedente para la soluciуn final figuran en la columna `SLACK OR SURPLUS’ (HOLGURA O EXCEDENTE). Los precios sombra relacionados aparecen a la derecha. Recuerde: Holgura representa la cantidad que sobra de un recurso y Excedente representa el exceso de producciуn.

    La restricciуn obligatoria se puede encontrar buscando la variable de holgura / excedente con el valor de cero. Luego, examine cada restricciуn para encontrar la que tenga sуlo esta variable especificada. Otra manera de expresar esto es buscar la restricciуn que exprese igualdad en la soluciуn final.

    Debajo, aparece el anбlisis de sensibilidad de los coeficientes de costos (es decir de los coeficientes de la funciуn objetivo). Cada parбmetro de coeficiente de costos puede variar sin afectar la soluciуn уptima actual. El valor actual del coeficiente se imprime junto con los valores de lнmite superior e inferior permitidos para que la soluciуn siga siendo уptima.

    Debajo aparece el anбlisis de sensibilidad para el RHS. La columna de «filas» imprime el nъmero de fila del problema inicial. Pro ejemplo, la primera fila impresa serб la dos porque la fila uno es la funciуn objetivo. La primera restricciуn es la fila dos. El RHS de la primera restricciуn estб representado por la fila dos. A la derecha, aparecen los valores para los cuales el valor RHS puede cambiar manteniendo la validez de los precios sombra.

    Nуtese que en la tabla simplex final, los coeficientes de las variables de holgura / excedente en la fila objetivo proporcionan la unidad del valor del recurso. Estos nъmeros se denominan precios sombra o precios duales. Debemos tener cuidado al aplicar estos nъmeros. Sуlo sirven para pequeсos cambios en las cantidades de recursos (es decir, dentro de los rangos de sensibilidad del RHS).

    Cуmo crear condiciones de no negatividad (variables libres) : Por omisiуn, prбcticamente todos los paquetes de software de resoluciуn de problemas de PL (como por ejemplo LINDO) presuponen que todas las variables son no negativas.

    Para cumplir con este requerimiento, convierta cualquier variable no restringida Xj en dos variables no negativas reemplazando cada Xj por y – Xj. Esto aumenta la dimensionalidad del problema sуlo en uno (introducir una variable y) independientemente de cuбntas variables sean no restringidas.

    Si cualquier variable Xj estб restringida a ser no positiva, reemplace cada Xj por – Xj. Esto reduce la complejidad del problema.

    Resuelva el problema convertido y luego vuelva a ingresar los valores de las variables originales.

    Maximizar -X1
    sujeta a:
    X1 + X2 ³ 0,
    X1 + 3X2 £ 3.

    El problema convertido es:

    Maximizar -y + X1
    sujeta a:
    -X1 – X2 + 2y ³ 0,
    -X1 – 3X2 + 4y £ 3,
    X1 ³ 0,
    X2 ³ 0,
    and y ³ 0.

    La soluciуn уptima para las variables originales es: X1 = 3/2 – 3 = -3/2, X2 = 3/2 – 0 = 3/2, con valor уptimo de 3/2.

    Para detalles acerca de los algoritmos de soluciуn, visite el sitio Web Artificial-Free Solution Algorithms, ejemplo N° 7.

    Implementaciones de Computaciуn con el Paquete WinQSB

    Tipo de variable: seleccione el tipo de variable desde la pantalla «Problem Specification» (Especificaciуn del Problema) (la primera pantalla que aparece al ingresar un nuevo problema); para programaciуn lineal, utilice la opciуn predeterminada «Continuous» (Continua).

    Formato de datos de entrada: seleccione el formato de datos de entrada desde la pantalla «Problem Specification» (Especificaciуn del Problema). Normalmente, es preferible utilizar el formato Matrix (Matriz) para ingresar los datos. En el formato Normal, el modelo aparece ya ingresado. Este formato puede ser mбs conveniente cuando se debe resolver un problema grande con muchas variables. Puede desplazarse por los formatos seleccionando el botуn «Switch to the…» (Cambiar a . ) del menъ Format (Formato).

    Identificaciуn de Variables / Restricciones: es conveniente cambiar los nombres de las variables y las restricciones para facilitar la identificaciуn del contexto que representan. Los nombres de las variables y las restricciones se pueden cambiar desde el menъ Edit (Ediciуn).

    Autoajuste de ancho de columnas (Best Fit): Con el botуn «best fit» del menъ Format (Formato) cada columna puede tener su propio ancho.

    Resolver buscando la soluciуn уptima (si es que existe): Seleccione «Solve the problem» (Resolver el problema) desde el menъ «Solve and Analyze» (Resolver y Analizar), o utilice el нcono «Solve» (Resolver) que se encuentra en la parte superior de la pantalla. Esto genera un «Combined Report» (Informe Combinado) que brinda la soluciуn y los resultados adicionales (reducciуn de costos, rangos de optimalidad, holgura / excedente, rango de factibilidad y precios sombra).

    Resolver mediante el Mйtodo Grбfico: seleccione el mйtodo grбfico desde el menъ «Solve and Analyze» (Resolver y Analizar) (sуlo se puede utilizar para problemas de dos variables). Tambiйn puede hacer clic en el нcono Graph (Grбfico) en la parte superior de la pantalla. Puede ajustar los rangos X-Y despuйs de resolver el problema y de que aparezca el grбfico. Elija el menъ Option (Opciуn) y seleccione los nuevos rangos desde la lista desplegable.

    Soluciones Optimas Alternas (si es que existen): despuйs de resolver el problema, si aparece un mensaje que le informa: «Alternate solution exists!!» (ЎЎExiste una soluciуn alterna!!), para ver todas las soluciones уptimas de los puntos extremos elija el menъ Results (Resultados) y luego seleccione «Obtain alternate optimal» (Obtener уptimo alterno). Visite tambiйn la secciуn Soluciones Mъltiples de este sitio Web para ver algunas advertencias.

    Utilice el archivo de Ayuda («Help») del paquete WinQSB para aprender cуmo funciona.

    Para ingresar problemas en el software QSB; para una restricciуn tal como X1 + X2 ³ 50, el coeficiente es 1 y debe ingresarse de esta manera en el software. Para cualquier variable que no se utilice en esa restricciуn en particular (por ejemplo si el problema tuviera X3 pero no fuera parte de la restricciуn mencionada) simplemente deje la celda en blanco para esa restricciуn.

    Puede cambiar la direcciуn de una restricciуn haciendo clic en la celda.

    Para construir el dual de un determinado problema, haga clic en Format (Formato), luego seleccione «Switch to the Dual Form» (Cambiar a la forma dual).

    їCуmo Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Utilizando un Software de PL?

    1- Debido a que los paquetes de resoluciуn de problemas de PL requieren que todas las variables sean no negativas, por cada variable substituya Xi = Yi – T en todas partes.
    2- Cree un objetivo artificial, como por ejemplo minimizar T
    3- Las restricciones del problema de PL son las ecuaciones del sistema despuйs de las sustituciones mencionadas en el paso 1.

    Ejemplo numйrico: resolver el siguiente sistema de ecuaciones

    2X1 + X2 = 3
    X1 -X2 = 3

    Dado que el paquete WinQSB acepta PL en diversos formatos (a diferencia de LINDO), la resoluciуn del problema utilizando WinQSB es sencilla:

    Primero, cree una PL con un objetivo artificial como por ejemplo Max X1, sujeta a 2X1 + X2 = 3, X1 – X2 = 3, y tanto X1 como X2 sin restricciуn de signo. Luego, ingrese esta PL en el mуdulo LP/ILP para arribar a la soluciуn.

    Si usted utiliza un paquete de software de PL que requiere que todas las variables sean no negativas, primero substituya X1 = Y1 – T y X2 = Y2 – T en ambas ecuaciones. Tambiйn necesitamos una funciуn objetivo. Fijemos una funciуn objetivo artificial como por ejemplo minimizar T. El resultado es la siguiente PL:

    Sujeta a:
    2Y1 + Y2 – 3T = 3,
    Y1 – Y2 = 3.

    Utilizando cualquier software de PL, como Lindo o WinQSB, llegamos a la soluciуn уptima Y1 = 3, Y2 = 0, T = 1. Ahora, sustituya esta soluciуn de PL en ambas transformaciones X1 = Y1 – T y X2 = Y2 – T. Esto nos da los valores numйricos para nuestras variables originales. Por ende, la soluciуn del sistema de ecuaciones es X1 = 3 – 1 = 2, X2 = 0 – 1 = -1, la cual se puede verificar fбcilmente.

    Problema Dual: Construcciуn y Significado

    —————————————————————————— Construcciуn del Problema Dual

    Objetivo: Max (por ejemplo las utilidades)
    Tipos de restricciones:
    £ una restricciуn usual
    = una restricciуn limitada (estricta)
    ³ una restricciуn inusual
    Objetivo: Min (por ejemplo los costos)
    Tipos de restricciones:
    ³ una restricciуn usual
    = una restricciуn limitada (estricta)
    £ una restricciуn inusual
    Tipos de variables:
    ³ 0 una condiciуn usual
    . sin restricciуn de signo
    £ 0 una condiciуn inusual

    ————————————————————————— Existe una correspondencia uno a uno entre el tipo de restricciуn y el tipo de variable utilizando esta clasificaciуn de restricciones y variables tanto para los problemas primarios como los duales.

    Construcciуn de Problemas Duales:

    – Si el problema primario es un problema de maximizaciуn, entonces su problema dual es un problema de minimizaciуn (y viceversa).

    – Utilice el tipo de variable de un problema para determinar el tipo de restricciуn del otro problema.

    – Utilice el tipo de restricciуn de un problema para determinar el tipo de variable del otro problema.

    -Los elementos RHS de un problema se transforman en los coeficientes de la funciуn objetivo del otro problema (y viceversa).

    – Los coeficientes de la matriz de las restricciones de un problema son la transposiciуn de los coeficientes de la matriz de las restricciones del otro problema.

    Puede verificar las reglas de construcciуn del problema dual utilizando su paquete WinQSB.

    Considere el siguiente problema primario:

    min x1 – 2×2
    sujeta a:
    x1 + x2 ³ 2,
    x1 – x2 £ -1,
    x2 ³ 3,
    x1, x2 ³ 0.

    Siguiendo la regla de construcciуn antes mencionada, el problema dual es:

    max 2u1 – u2 + 3u3
    sujeta a:
    u1 + u2 £ 1,
    u1 – u2 + u3 £ -2,
    u1 ³ 0,
    u2 £ 0,
    u3 ³ 0

    El Problema Dual del Problema del Carpintero:

    Maximizar 5X1 + 3X2

    sujeta a:
    2X1 + X2 £ 40
    X1 + 2X2 £ 50
    X1 ³ 0
    X2 ³ 0

    El problema dual es:

    Minimizar 40U1 + 50U2

    Sujeta a:
    2U1 + U2 ³ 5
    U1 + 2U2 ³ 3
    U1 ³ 0
    U2 ³ 0

    Aplicaciones: usted puede utilizar la dualidad en una amplia gama de aplicaciones tales como:

    – En algunos casos, puede ser mбs eficiente resolver el problema dual que el primario.

    – La soluciуn dual proporciona una interpretaciуn econуmica importante tal como los precios sombra (es decir, los valores marginales de los elementos RHS) que son los multiplicadores Lagrangianos que demuestran una cota (estricta) del valor уptimo del problema primario y viceversa. Histуricamente, el precio sombra se definiу como la mejora en el valor de la funciуn objetivo por aumento unitario en el lado derecho, porque el problema generalmente adoptaba la forma de una mejora de maximizaciуn de utilidades (es decir, un aumento). El precio sombra puede no ser el precio de mercado. El precio sombra es por ejemplo el valor del recurso bajo la «sombra» de la actividad comercial. Se puede realizar un anбlisis de sensibilidad ,es decir un anбlisis del efecto de pequeсas variaciones en los parбmetros del sistema sobre las medidas de producciуn, calculando las derivadas de las medidas de producciуn con respecto al parбmetro.

    – Si una restricciуn en un problema no es obligatoria (en otras palabras, el valor LHS o valor del lado izquierdo) concuerda con el valor RHS), la variable asociada en el problema es cero. De manera inversa, si una variable de decisiуn en un problema no es cero, la restricciуn asociada en el otro problema es obligatoria. A estos resultados se los conoce como Condiciones Complementarias de Holgura.

    – Obtener el rango de sensibilidad del RHS de un problema partiendo del rango de sensibilidad del coeficiente de costos del otro problema y viceversa.

    Para mбs detalles y ejemplos numйricos, lea los siguientes artнculos:
    A. Benjamin, Sensible Rules for Remembering Duals_ S-O-B Method, SIAM Review , 37, 85-87, 1995.

    H. Arsham, An Artificial-Free Simplex Algorithm for General LP Models, Mathematical and Computer Modelling , 25, 107-123, 1997.

    El Problema Dual del Problema del Carpintero y su Interpretaciуn

    Recordemos los parбmetros de entrada no controlables del Problema del Carpintero:

    Datos de entrada no controlables
    Mesas Sillas Disponible
    Mano de obra 2 1 40
    Materia prima 1 2 50
    Ingresos netos 5 3

    Y su formulaciуn de PL

    Maximizar 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40 restricciуn de mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn de materiales
    tanto X1 como X2 son no negativas.

    Donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas a fabricar.

    Supуngase que el Carpintero desea contratar un seguro para sus ingresos netos. Digamos que:

    U1 = el monto en dуlares pagadero al Carpintero por cada hora de trabajo perdida (por enfermedad, por ejemplo),

    U2 = el monto en dуlares pagadero al Carpintero por cada unidad de materia prima perdida (por incendio, por ejemplo).

    Por supuesto que el corredor de seguros intenta minimizar el monto total de US$(40U1 + 50U2) pagadero al Carpintero por la Compaснa de Seguros. Sin embargo, como es de esperar, el Carpintero fijarб las restricciones (es decir las condiciones) para que la compaснa de seguros cubra toda su pйrdida que equivale a sus ingresos netos debido a que no puede fabricar los productos. En consecuencia, el problema de la compaснa de seguros es:

    Minimizar 40 U1 + 50 U2
    Sujeta a:
    2U1 + 1U2 ³ 5 ingresos netos por una mesa
    1U1 + 2U2 ³ 3 ingresos netos por una silla
    U1, U2 son no negativas.

    Si implementa este problema en un paquete de software, verб que la soluciуn уptima es U1 = US$7/3 y U2 = US$1/3 con el valor уptimo de US$110 (el monto que el Carpintero espera recibir). Esto asegura que el Carpintero pueda manejar su vida sin inconvenientes. El ъnico costo es la prima que le cobra la compaснa de seguros.

    Como puede ver, el problema de la compaснa de seguros estб estrechamente relacionado con el problema original.

    Segъn la terminologнa del proceso de diseсo de modelos de IO/CA, el problema original se denomina Problema Primario mientras que el problema relacionado se denomina Problema Dual

    Tal como vimos en el Problema del Carpintero y su Problema Dual, el Valor Optimo es siempre el mismo para ambos problemas. Esto se denomina Equilibrio Econуmico entre el Problema Primario y el Problema Dual.

    Errores de Redondeo cometido por los Gerentes: tenga cuidado siempre que redondee el valor de los precios sombra. Por ejemplo, el precio sombra de la restricciуn de recursos en el problema anterior es 8/3, por ende, si usted desea comprar mбs de este recurso, no deberнa pagar mбs de US$2.66. Sin embargo, siempre que usted quiera vender cualquier unidad de este recurso, no deberнa hacerlo a un precio inferior a US$2.67.

    Podrнa darse un error similar si usted redondea en los lнmites de los rangos de sensibilidad. Como siempre, hay que prestar atenciуn porque el lнmite superior e inferior deben redondearse para abajo y para arriba, respectivamente.

    Cбlculo de los Precios Sombra

    Calcule el precio sombra para ambos recursos en el siguiente problema de PL:

    Max -X1 + 2X2
    sujeta a:
    X1 + X2 £ 5
    X1 + 2X2 £ 6
    tanto X1 como X2 son no negativas.

    La soluciуn de este problema primario (utilizando por ejemplo el mйtodo grбfico) es X1 = 0, X2 = 3, con el sobrante S1 = 2 del primer recurso mientras que el segundo recurso se utiliza por completo, S2 = 0.

    Los precios sombra son la soluciуn del problema dual:

    Min 5U1 + 6U2
    Sujeta a:
    U1 + U2 ³ -1
    U1 + 2U2 ³ 2
    tanto U1 como U2 son no negativas.

    La soluciуn del problema dual (utilizando por ejemplo el mйtodo grбfico) es U1 = 0, U2 = 1 que son los precios sombra para el primer y el segundo recurso, respectivamente. Fнjese que siempre que la holgura / excedente de una restricciуn no es cero, el precio sombra relacionado con ese RHS de la restricciуn es siempre cero, pero puede no darse el caso contrario . En este ejemplo numйrico S1 = 2 (es decir, el valor de holgura del RHS 1 del problema primario), que no es cero; por lo tanto U1 es igual a cero tal como es de esperar.

    Considere el siguiente problema:

    Max X1 + X2
    sujeta a:
    X1 £ 1
    X2 £ 1
    X1 + X2 £ 2
    todas las variables de decisiуn ³ 0.

    Utilizando un paquete de software, puede verificar que el precio sombra para el tercer recurso es cero, mientras que no hay sobrante de ese recurso en la soluciуn уptima X1 =1, X2 = 1.

    Comportamiento de los Cambios en los Valores RHS del Valor Optimo

    Caso I: Problema de Maximizaciуn

    Para restricciуn de £ : cambio en la misma direcciуn. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminuciуn en el valor уptimo sino que йste aumenta o permanece igual segъn la restricciуn sea obligatoria o no obligatoria.

    Para restricciуn de ³ : cambio en la direcciуn opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento en el valor уptimo sino que йste disminuye o permanece igual segъn la restricciуn sea obligatoria o no obligatoria.

    Para restricciуn de =: el cambio puede ser en cualquier direcciуn (ver la secciуn Mбs por Menos en este sitio).

    Caso II: Problema de Minimizaciуn

    Para restricciуn de £ : cambio en la direcciуn opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento del valor уptimo sino que йste disminuye o permanece igual segъn la restricciуn sea obligatoria o no obligatoria).

    Para restricciуn de ³ : cambio en la misma direcciуn. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminuciуn del valor уptimo sino que йste aumenta o permanece igual segъn la restricciуn sea obligatoria o no obligatoria.

    Para restricciуn de =: el cambio puede ser en cualquier direcciуn (ver la secciуn Mбs por Menos en este sitio).

    Interpretaciуn Incorrecta del Precio Sombra

    Por cada restricciуn del RHS, el Precio Sombra nos indica exactamente cuбnto cambiarб la funciуn objetivo si cambiamos el lado derecho de la restricciуn correspondiente dentro de los lнmites fijados por el rango de sensibilidad del RHS.

    Por consiguiente, por cada valor RHS, el precio sombra es el coeficiente del cambio en el valor уptimo causado por cualquier aumento o disminuciуn admisible en el RHS dentro del cambio admisible.

    Precio Sombra = Cambio en el Valor Optimo / Cambio en el RHS,

    Dado que el cambio en el RHS estб dentro del rango de sensibilidad. Desafortunadamente, existen interpretaciones errуneas con respecto a la definiciуn del precio sombra. Una de ellas indica: «En los problemas de programaciуn lineal, el precio sombra de una restricciуn es la diferencia entre el valor optimizado de la funciуn objetivo y el valor de la funciуn objetivo, evaluada de manera opcional, cuando el RHS de una restricciуn aumenta en una unidad». El ъltimo sitio Web establece lo siguiente «Precios Sombra: los precios sombra para un problema de programaciуn lineal son las soluciones para su correspondiente problema dual. El precio sombra i° es el cambio en la funciуn objetivo que resulta del aumento en una unidad en la coordenada i° de b. Un precio sombra tambiйn es el monto que un inversor tendrнa que pagar por una unidad de un recurso para comprarle la parte al fabricante.»

    Considere la siguiente PL:
    Max X2

    sujeta a:
    X1 + X2 £ 2
    2.5X1 + 4X2 £ 10
    Donde ambas variables de decisiуn son no negativas.

    El problema tiene su soluciуn уptima en (0, 2) con un valor уptimo de 2.
    Supуngase que quiere calcular el precio sombra del primer recurso, es decir el RHS de la primera restricciуn.

    Si cambiamos el RHS de la primera restricciуn aumentбndolo en una unidad tenemos:

    Max X2
    sujeta a:
    X1 + X2 £ 3
    2.5X1 + 4X2 £ 10
    donde ambas variables de decisiуn son no negativas.

    El nuevo problema tiene la soluciуn уptima (0, 2.5) con un valor уptimo de 2.5.

    Entonces, pareciera «como si» el precio sombra de este recurso es 2.5 – 2 = 0.5. De hecho, el precio sombra de este recurso es 1, el cual se puede verificar construyendo y resolviendo el problema dual.

    El motivo de este error se torna obvio si observamos que el aumento admisible para mantener la validez del precio sombra del primer recurso es 0.5. El aumento en 1 excede el cambio admisible del primer valor RHS.

    Ahora supуngase que cambiamos el mismo valor RHS en + 0.1 que es admisible. Entonces el valor уptimo del nuevo problema es 2.1. Por consiguiente, el precio sombra es (2.1 -2) / 0.1 = 1. Es necesario prestar mucha atenciуn al calcular los precios sombra.

    Si usted quiere calcular el precio sombra de un valor RHS sin tener su rango de sensibilidad, puede obtener los valores уptimos de dos perturbaciones como mнnimo. Si el нndice de cambio en ambos casos arroja los mismos valores, entonces este нndice es realmente el precio sombra. A modo de ejemplo, supуngase que perturbamos el RHS de la primera restricciуn en +0.02 y -0.01. Si resolvemos el problema despuйs de estos cambios utilizando un software de PL, obtenemos los valores уptimos de 2.02 y 1.09, respectivamente. Como el valor уptimo para el problema nominal (sin ninguna perturbaciуn) es igual a 2, el нndice de cambio para los dos casos es: (2.02 – 2)/0.02 = 1, y (1.09 – 2)/(-0.01) = 1, respectivamente. Como estos dos нndices coinciden, podemos concluir que el precio sombra del RHS de la primera restricciуn es de hecho igual a 1.

    їEl Precio Sombra es Siempre No Negativo?

    Considere el siguiente ejemplo numйrico:

    Max 3X1 + 5X2
    Sujeta a:
    X1 + 2X2 £ 50
    -X1 + X2 ³ 10
    X1, X2 son no negativas.

    Nos interesa saber el precio sombra del valor del RHS 2 = 10. El problema dual es:

    Min 50U1 + 10U2
    Sujeta a:
    U1 – U2 ³ 3
    2U1 + U2 £ 5
    U1 ³ 0, mientras que U2 £ 0

    Esto se puede verificar con el software WinQSB. La soluciуn del problema dual es U1 = 8/3, U2 = -1/3. Por lo tanto, el precio sombra del valor RHS 2 = 10 es U2 = -1/3. Es decir que por cada aumento (disminuciуn) unitario en el RHS2, el valor уptimo del problema primario disminuye (aumenta) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 estб dentro de los lнmites de sensibilidad.

    Para otra versiуn del mismo problema primario, fнjese que el problema puede escribirse de la misma manera, cambiando la direcciуn de la segunda restricciуn de desigualdad:

    Max 3X1 + 5X2
    Sujeta a:
    X1 + 2X2 £ 50
    X1 – X2 £ -10
    X1, X2 son no negativas.

    El problema dual de este problema primario ahora es:

    Min 50Y1 – 10Y2
    Sujeta a:
    Y1 + Y2 ³ 3
    2Y1- Y2 £ 5
    tanto Y1 como Y2 son no negativas

    Nuevamente, la formulaciуn dual puede verificarse utilizando el software WinQSB. La soluciуn de este problema dual es Y1 = 8/3 y Y2 = 1/3. Entonces, el precio sombra del valor del RHS 2 = -10 es Y2 = 1/3. Vale decir que por cada aumento (disminuciуn) unitario en el valor RHS 2, el valor уptimo del problema primario aumenta (disminuye) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 esta dentro de los lнmites de sensibilidad.

    Como ya debe haber notado, ambos problemas duales son iguales al sustituir U1 = Y1, y U2 = -Y2. Esto significa que los precios sombra obtenido para RHS 2 = 10, y RHS 2 = -10 tienen el mismo valor con el signo opuesto (como es de esperar). Por ende, , el signo del precio sombra depende de cуmo se formule el problema dual , aunque el significado y su interpretaciуn son siempre los mismos.

    Precios Sombra Alternativos

    Sн, es posible. Considere el siguiente problema:

    Min 16X1 + 24X2
    sujeta a:
    X1 + 3X2 ³ 6
    2X1 + 2X2 ³ 4
    todas las variables de decisiуn ³ 0.

    Max 6U1 + 4U2
    sujeta a:
    U1 + 2U2 £ 16
    3U1 + 2U2 £ 24
    todas las variables de decisiуn ³ 0,

    Este problema dual tiene diversas soluciones alternativas, tales como, (U1 = 8, U2 = 0) y (U1 = 4, U2 = 6). Todas las combinaciones convexas de estos dos vйrtices tambiйn son soluciones.

    Existen casos generales para los cuales los precios sombra no son ъnicos. Como en el ejemplo anterior, siempre que exista redundancia entre las restricciones, o si la soluciуn уptima es «degenerada», puede haber mбs de un conjunto de precios duales. En general, las restricciones lineales independientes son condiciуn suficiente para que exista un ъnico precio sombra.

    Considere el siguiente problema de PL con una restricciуn redundante:

    Max 10X1 + 13X2
    sujeta a:
    X1 + X2 = 1
    X1 + X2 = 1
    X1+2X2 = 2
    y todas las variables son no negativas.

    Si corremos el problema dual en Lindo vemos que X1 = 0, X2 = 1, con precios sombra (0, 13, 0).

    Si utilizamos WinQSB para este problema, obtenemos X1 = 0, X2 = 1 con distintos precios sombra (0, 7, 3).

    En el caso de redundancia, los precios sombra obtenidos con un paquete de PL pueden no coincidir con aquellos obtenidos con otro paquete de software.

    Manejo de Incertidumbres mediante Modelaciуn de Escenarios:
    Anбlisis de Sensibilidad y Anбlisis de Especificidad

    El hombre utiliza construcciones (modelos) matemбticas e informбticas para una variedad de entornos y propуsitos, con frecuencia para conocer los posibles resultados de uno o mбs planes de acciуn. Esto puede relacionarse con inversiones financieras, alternativas de seguros (asegurar o no asegurar/cuбnto), prбcticas industriales e impactos ambientales. El uso de modelos se ve perjudicado por la inevitable presencia de incertidumbres, que surgen en distintas etapas, desde la construcciуn y corroboraciуn del modelo en sн hasta su uso. Normalmente su uso es el culpable.

    Toda soluciуn a un problema de toma de decisiones se basa en determinados parбmetros que se presumen como fijos. El anбlisis de sensibilidad es un conjunto de actividades posteriores a la soluciуn que sirven para estudiar y determinar quй tan sensible es la soluciуn a los cambios en las hipуtesis. Estas actividades tambiйn se denominan anбlisis de estabilidad, anбlisis what-if o de hipуtesis, modelaciуn de escenarios, anбlisis de especificidad, anбlisis de incertidumbre, anбlisis de inestabilidad numйrica, inestabilidad funcional y tolerancia, anбlisis de post optimalidad, aumentos y disminuciones admisibles y muchos otros tйrminos similares que reflejan la importancia de esta etapa del proceso de modelaciуn. Por ejemplo, anбlisis de sensibilidad no es el tйrmino tнpico empleado en la econometrнa para referirse al mйtodo de investigaciуn de la respuesta de una soluciуn frente a perturbaciones en los parбmetros. En econometrнa, esto se denomina estбtica comparativa o dinбmica comparativa, segъn el tipo de modelo en cuestiуn.

    Se puede hacer frente a las incertidumbres de una manera mбs «determinista». Este abordaje tiene distintos nombres tales como «modelaciуn de escenarios», «modelaciуn determinista», «anбlisis de sensibilidad» y «anбlisis de estabilidad». La idea es generar, de manera subjetiva, una lista ordenada de incertidumbres importantes que supuestamente podrнan tener un mayor impacto sobre el resultado final. Esto se lleva acabo antes de focalizarse en los detalles de cualquier «escenario» o modelo.

    Resulta vital comprender la influencia de lo antedicho en el plan de acciуn sugerido por el modelo por las siguientes razones:

    Pueden presentarse distintos niveles de aceptaciуn (por el pъblico en general, por los decisores, por las partes interesadas) a distintos tipos de incertidumbre.
    Distintas incertidumbres tienen distintos impactos sobre la confiabilidad, robustez y eficiencia del modelo.

    La relevancia del modelo (su correspondencia con la tarea) depende en gran medida del impacto de la incertidumbre sobre el resultado del anбlisis. Las sorpresas no forman parte de las decisiones уptimas sуlidas.

    Existen numerosos ejemplos de entornos donde esto es aplicable, tales como:

    • Construcciуn de indicadores (econуmicos / ambientales)
    • Anбlisis y pronуstico de riesgo (ambiental, financiero, de seguros. )
    • Optimizaciуn y calibraciуn de modelos (per se)

    A continuaciуn, sigue una lista abreviada de las razones por las cuales se debe tener en cuenta el anбlisis de sensibilidad:

    Toma de decisiones o desarrollo de recomendaciones para decisores:

    • Para probar la solidez de una soluciуn уptima. Las sorpresas no forman parte de las decisiones уptimas sуlidas.
    • Para identificar los valores crнticos, umbrales, o valores de equilibrio donde cambia la estrategia уptima.
    • Para identificar sensibilidad o variables importantes.
    • Para investigar soluciones sub-уptimas.
    • Para desarrollar recomendaciones flexibles que dependan de las circunstancias.
    • Para comparar los valores de las estrategias de decisiуn simples y complejas.
    • Para evaluar el riesgo de una estrategia o escenario.

    Comunicaciуn:

    • Para formular recomendaciones mбs creнbles, comprensibles, contundentes o persuasivas.
    • Para permitir a los decisores seleccionar hipуtesis.
    • Para comunicar una falta de compromiso a una ъnica estrategia.
    • El decisor debe incorporar algunas otras perspectivas del problema tal como perspectivas culturales, polнticas, psicolуgicas, etc. en las recomendaciones del cientнfico de administraciуn.

    Aumentar la comprensiуn o aptitud del sistema:

    • Para estimar la relaciуn entre las variables de entrada y las de salida.
    • Para comprender la relaciуn entre las variables de entrada y las de salida. Para desarrollar pruebas de las hipуtesis.

    Desarrollo del modelo:

    • Para probar la validez o precisiуn del modelo.
    • Para buscar errores en el modelo
    • Para simplificar el modelo.
    • Para calibrar el modelo.
    • Para hacer frente a la falta o insuficiencia de datos.
    • Para priorizar la adquisiciуn de informaciуn.

    Lista abreviada de casos en los que se debe considerar la realizaciуn de un anбlisis de sensibilidad:

    1. Con el control de los problemas, el anбlisis de sensibilidad puede facilitar la identificaciуn de regiones cruciales en el espacio de los parбmetros de entrada.
    2. En ejercicios de selecciуn, el anбlisis de sensibilidad sirve para localizar algunos parбmetros influyentes en sistemas con cientos de datos de entrada inciertos.
    3. Se utilizan tйcnicas de anбlisis de sensibilidad basados en varianza para determinar si un subconjunto de parбmetros de entrada puede representar (la mayor parte de) la varianza de salida.
    4. El punto (3) puede utilizarse para la reducciуn del mecanismo (descartar o corregir partes no relevantes del modelo) y para la extracciуn de un modelo (construir un modelo a partir de otro mбs complejo). Ver tambiйn el problema de la «relevancia» del modelo: їlos parбmetros del conjunto de entrada del modelo son relevantes con respecto a la tarea del modelo?
    5. El punto (3) tambiйn puede utilizarse para la identificaciуn del modelo identificando las condiciones experimentales para las cuales su capacidad para discriminar dentro del modelo se encuentra en su punto mбximo.
    6. Al igual que en el punto (5), el anбlisis de sensibilidad puede utilizarse para la calibraciуn del modelo, para determinar si los experimentos con sus incertidumbres relacionadas permitirбn la estimaciуn de los parбmetros. Esto es particularmente ъtil frente a problemas mal condicionados (mal formulados).
    7. El anбlisis de sensibilidad puede complementarse con algoritmos de bъsqueda / optimizaciуn; identificando los parбmetros mбs importantes, el anбlisis de sensibilidad puede permitir que se reduzca la dimensionalidad del espacio donde se realiza la bъsqueda.
    8. Como una herramienta de aseguramiento de calidad, el anбlisis de sensibilidad asegura que la dependencia de la salida (resultado) de los parбmetros de entrada del modelo tenga una similitud fнsica y una explicaciуn.
    9. Para resolver un problema inverso, el anбlisis de sensibilidad sirve como una herramienta para extraer parбmetros incorporados en modelos cuyos resultados no se correlacionan fбcilmente con la entrada desconocida (por ejemplo en cinйtica quнmica, para extraer las constantes cinйticas de sistemas complejos a partir del нndice de rendimiento de los componentes).
    10. Para asignar recursos en el бrea de I&D de manera уptima, el anбlisis de sensibilidad muestra donde vale la pena invertir a fin de reducir el rango de incertidumbre del modelo.
    11. El anбlisis de sensibilidad puede determinar cuantitativamente quй parte de la incertidumbre de mi predicciуn se debe a incertidumbre paramйtrica de la estimaciуn y cuбnto a incertidumbre estructural.

    Errores de redondeo cometido por los gerentes: como siempre, se debe prestar atenciуn al redondear el valor de los lнmites de los rangos de sensibilidad. El lнmite superior y el lнmite inferior deben redondearse hacia abajo y hacia arriba respectivamente para que sean vбlidos.

    Anбlisis de sensibilidad vs. programaciуn estocбstica: el anбlisis de sensibilidad y las formulaciones de programaciуn estocбstica son los dos principales enfoques para manejar la incertidumbre. El anбlisis de sensibilidad es un procedimiento de post optimalidad que no puede influir en la soluciуn. Sirve para investigar los efectos de la incertidumbre sobre la recomendaciуn del modelo. Por otro lado, la formulaciуn de programaciуn estocбstica introduce informaciуn probabilнstica acerca de los datos del problema, a pesar de los primeros momentos (es decir los valores esperados) de la distribuciуn de la funciуn objetivo con respecto a la incertidumbre. Esto ignora las evaluaciones de riesgo del decisor, caracterizadas por la varianza o el coeficiente de variaciуn.

    Cбlculo de Rangos de Sensibilidad para Problemas Pequeсos

    La ъnica restricciуn es que no se permiten restricciones de igualdad .Tener una restricciуn de igualdad implica degeneraciуn, porque cada restricciуn de igualdad, por ejemplo, X1 + X2 = 1, significa dos restricciones simultбneas: X1 + X2 £ 1 , y X1 + X2 ³ 1. Entonces, la cantidad de restricciones obligatorias en tal caso serб mayor a la cantidad de variables de decisiуn. Esto se denomina situaciуn degenerada para la cual el anбlisis de sensibilidad normal no es vбlido.

    Rango de Sensibilidad de Costos para Problemas de PL con dos Variables de Decisiуn

    Volviendo al Problema del Carpintero, si cambiamos la ganancia de cada producto, cambia la pendiente de la funciуn objetivo de igual valor (funciуn iso). Para «pequeсos» cambios, el уptimo permanece en el mismo punto extremo. Para cambios mayores, la soluciуn уptima se desplaza a otro punto. Por consiguiente, tenemos que modificar la formulaciуn y resolver un nuevo problema.

    El problema es encontrar un rango para cada coeficiente de costos c(j), de la variable Xj, de manera que la soluciуn уptima actual, es decir el punto extremo actual (esquina) siga siendo уptimo.

    Para un problema de PL de 2 dimensiones, puede probar el sencillo abordaje que presentamos a continuaciуn para saber cuбl es la cantidad de aumento/disminuciуn de cualquier coeficiente de la funciуn objetivo (tambiйn conocidos como coeficientes de costos porque histуricamente durante la Segunda Guerra Mundial, el primer problema de PL fue un problema de minimizaciуn de costos) a fin de mantener la validez de la soluciуn уptima actual. La ъnica condiciуn requerida para este abordaje es que no se permiten restricciones de igualdad , ya que esto implicarнa degeneraciуn, para lo cual el anбlisis de sensibilidad tradicional no es vбlido.

    Paso 1: Considere las ъnicas dos restricciones obligatorias de la soluciуn уptima actual. Si hay mбs de dos restricciones obligatorias, hay degeneraciуn, en cuyo caso el anбlisis de sensibilidad tradicional no es vбlido.

    Paso 2: Perturbe el coeficiente de costos j° por el parбmetro cj (esta es la cantidad desconocida de cambios).

    Paso 3: Construya una ecuaciуn correspondiente a cada restricciуn obligatoria, como figura a continuaciуn:

    (Costo Cj perturbado) / coeficiente de Xj en la restricciуn = Coeficiente de la otra variable en la funciуn objetivo / coeficiente de esa variable de la restricciуn.

    Paso 4: La cantidad de aumento admisible es el cj positivo menor posible, mientras que la disminuciуn admisible es el cj negativo mayor posible obtenido en el Paso 3.

    Fнjese que si no hay cj positivo (negativo), la cantidad de aumento (disminuciуn) es ilimitada.

    Advertencias:

      Recuerde que nunca debe dividir por cero . Dividir por cero es una falacia comъn en algunos libros de texto. Por ejemplo en Introduction to Management Science , de Taylor III, B., 6 th Ed., Prentice Hall, 1999, the author, unfortunately, divides by zero on page 189.
      Para mayores detalles y otras falacias comunes, visite el sitio Web The zero saga & confusions with numbers . Una pregunta para usted: їcuбles de estas afirmaciones son correctas y por quй?
      a) cualquier nъmero divido por cero es indefinido;
      b) cero divido por cualquier nъmero es cero; o
      c) cualquier nъmero dividido por sн mismo es 1

    Comъnmente se cree que se puede calcular el rango de sensibilidad al costo acotando la pendiente (perturbada) de la funciуn objetivo (funciуn iso) por las pendientes de las dos lнneas resultantes de las restricciones obligatorias. Este mйtodo grбfico basado en las pendientes estб descripto en de An Introduction to Management Science , by Anderson D., y Williams T., 9° Ed., West Publisher, 2000, (Secciуn 3.2). Lamentablemente, esto es confuso. Deberнa advertirse que este abordaje no es general y funciona si y sуlo si los coeficientes no cambian de signo.

    Por ejemplo, si aplicamos este abordaje en la construcciуn del rango de sensibilidad de los coeficientes de costos del siguiente problema;

    Maximizar 5X1 + 3X2

    Sujeta a: X1 + X2 £ 2, X1 – X2 £ 0, X1 ³ 0, X2 ³ 0

    Obtenemos rangos incorrectos. Visite el sitio Web Myths and Counterexamples in Mathematical Programming para ver ilustraciones y una explicaciуn de este anti-ejemplo.

    El problema del carpintero:

    Maximice 5X1 + 3X2

    Sujeta a:
    2X1 + X2 £ 40
    X1 + 2X2 £ 50
    X1 ³ 0
    X2 ³ 0

    Cбlculo del incremento/disminuciуn permisibles de C1 = 5: Las restricciones obligatorias son la primera y la segunda. Alterando este coeficiente de costo por c1 se obtiene 5 + c1. En el paso 3 se obtiene:

    (5 + c1)/2 = 3/1, para la primera restricciуn, y (5 + c1)/1 = 3/2 para la segunda restricciуn. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: c1 = 1 y c1 = -3.5. Por lo tanto, el incremento permisible es 1, mientras que la disminuciуn permisible es 1.5. Por lo tanto, mientras el primer coeficiente de costo C1 permanezca dentro del intervalo [ 5 – 3.5, 5 + 1] = [1.5, 6], continъa la soluciуn уptima actual.

    De modo similar, para el segundo coeficiente de costo C2 = 3 se obtiene el rango de sensibilidad [2.5, 10].

    Consideremos el problema anterior con otro ejemplo:

    Maximice 5X1 + 3X2

    Sujeta a:
    X1 + X2 £ 2
    X1 – X2 £ 0
    X1 ³ 0
    X2 ³ 0

    Cбlculo del incremento/disminuciуn permisibles de C1 = 5: Las restricciones obligatorias son la primera y la segunda. Alterando este coeficiente de costo por c1 se obtiene 5 + c1. En el paso 3 se obtiene:

    (5 + c1)/1 = 3/1, para la primera restricciуn y (5 + c1)/1 = 3/(-1) para la segunda restricciуn. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: c1 = -2 y c1 = -8. Por lo tanto, la disminuciуn permisible es 2, mientras que el incremento permisible es ilimitado. Por lo tanto, mientras el primer coeficiente de costo C1 permanezca dentro del intervalo [ 5 – 2, 5 + ¥ ] = [3, ¥ ], continъa la soluciуn уptima actual.

    De modo similar, para el segundo coeficiente de costo C2 = 3 se obtiene el rango de sensibilidad [3 – 8, 3 + 2] = [-5, 5].

    Rango de sensibilidad del lado derecho para problemas de PL con dos restricciones como mбximo

    En el Problema del Carpintero, cuando se efectъan cambios menores en cualquiera de los recursos, la estrategia уptima (es decir, hacer el producto mixto) sigue siendo vбlida. Cuando los cambios son mayores, esta estrategia уptima cambia y el Carpintero debe, hacer todas las mesas o las sillas que pueda. Este es un cambio drбstico de estrategia; por lo tanto, tenemos que revisar la formulaciуn y resolver un nuevo problema.

    Ademбs de la informaciуn necesaria que antes se mencionу, tambiйn nos interesa saber cuбnto puede vender (o comprar) el Carpintero de cada recurso a un precio (o costo) «razonable». Es decir, їhasta dуnde se puede incrementar o disminuir el RHS(i) con un valor i fijo, mientras se mantiene la validez del precio sombra corriente del RHS(i)? Es decir, їhasta dуnde se puede incrementar o disminuir el RHS(i) con un valor i fijo mientras se mantiene la soluciуn уptima corriente para el problema dual?

    Histуricamente, el precio sombra se definiу como la mejora en el valor de la funciуn objetivo por incremento unitario en el lado derecho porque con frecuencia el problema se pone en la forma de mejora de maximizaciуn de utilidad (en el sentido de incremento).

    Asimismo, con cualquier RHS, el precio sombra (tambiйn conocido como su valor marginal), es la cantidad de cambio en el valor уptimo proporcional a una unidad de cambio para ese RHS en particular. Sin embargo, en algunos casos no se permite cambiar tanto el RHS. El rango de sensibilidad del RHS proporciona los valores para los que el precio sombra tiene significado econуmico y permanece sin cambios.

    їHasta dуnde se puede incrementar o disminuir cada RHS individual manteniendo la validez de los precios sombra? Esta frase equivale a preguntar cuбl es el rango de sensibilidad para el coeficiente de costo en el problema dual.

    El dual del Problema del Carpintero es:

    Minimice 40U1 + 50U2

    Sujeta a:
    2U1 + U2 ³ 5
    U1 + 2U2 ³ 3
    U1 ³ 0
    U2 ³ 0

    La soluciуn уptima es U1 = 7/3 y U2 = 1/3 (que son los precios sombra).

    El Problema del Carpintero:

    Maximice 5X1 + 3X2

    Sujeta a:
    2X1 + X2 £ 40
    X1 + 2X2 £ 50
    X1 ³ 0
    X2 ³ 0

    Cбlculo del Rango para RHS1: Las primeras dos restricciones son obligatorias, por lo tanto:

    (40 + r1)/2 = 50/ 1, y (40 + r1) / 1 = 50/ 2.

    De la resoluciуn de estas dos ecuaciones se obtiene: r1 = 60 y r1 = -15. Por lo tanto, el rango de sensibilidad para el primer RHS en el problema del carpintero es: [40-15, 40 + 60] = [25, 100].

    De modo similar, para el segundo RHS, se obtiene: [50 – 30, 50 + 30] = [20, 80].

    Quй es la Regla del 100% (regiуn de sensibilidad)

    r 1 /60 + r 2 /30 £ 1, 0 £ r 1 £ 60, 0 £ r 2 £ 30.

    Aquн, 60 y 30 son los incrementos permisibles de los RHS, basados en la aplicaciуn del anбlisis de sensibilidad ordinario. Es decir, siempre que el primer y el segundo RHS aumentan r 1 , y r 2 respectivamente, mientras esta desigualdad continъe, los precios sombra para los valores del lado derecho permanecen sin cambios. Obsйrvese que йsta es una condiciуn suficiente porque, si se viola esta condiciуn, entonces los precios sombra pueden cambiar o aъn asн seguir iguales. El nombre «regla del 100%» surge evidente cuando se observa que en el lado izquierdo de la condiciуn, cada tйrmino es un nъmero no negativo menor que uno, que podrнa representarse como un porcentaje de cambio permisible. La suma total de estos cambios no deberнa exceder el 100%.

    Aplicando la regla del 100% a los otros tres cambios posibles en los RHS se obtiene:

    r 1 /(-15) + r 2 /(-30) £ 1, -15 £ r 1 £ 0, -30 £ r 2 £ 0. r 1 /(60) + r 2 /(-30) £ 1, 0 £ r 1 £ 60, -30 £ r 2 £ 0. r 1 /(-15) + r 2 /(30) £ 1, -15 £ r 1 £ 0, 0 £ r 2 £ 30.

    La siguiente Figura ilustra la regiуn de sensibilidad de ambos valores RHS como resultado de la aplicaciуn de la regla del 100% al problema del Carpintero.

    Desde un punto de vista geomйtrico, obsйrvese que el poliedro con los vйrtices (60, 0), (0, 30), (-15, 0) y (0,-30) en la Figura es sуlo un subconjunto de una regiуn de sensibilidad mбs grande para los cambios en ambos RHS. Por lo tanto, permanecer dentro de esta regiуn de sensibilidad es sуlo una condiciуn suficiente (no necesaria) para mantener la validez de los precios sombra actuales.

    Pueden obtenerse resultados similares para los cambios simultбneos de los coeficientes de costos. Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la disminuciуn permisible simultбnea en 1 y los incrementos en 2 , , es decir, el cambio en ambos coeficientes de costo de 1 £ 0 y c 2 ³ 0.
    La regla del 100% establece que la base corriente sigue siendo уptima siempre que:

    c 1 /(-3.5) + c 2 /7 £ 1, -3.5 £ c 1 £ 0, 0 £ c 2 £ 7.

    Donde 3.5 y 7 son la disminuciуn y el incremento permisibles de los coeficientes de costo 1 y C 2 , respectivamente, que se hallaron anteriormente mediante la aplicaciуn del anбlisis de sensibilidad ordinario. , respectively, that we found earlier by the application of the ordinary sensitivity analysis.

    La Figura anterior tambiйn ilustra todas las otras posibilidades de incrementar/disminuir los valores de ambos coeficientes de costos como resultado de la aplicaciуn de la regla del 100%, mientras se mantiene al mismo tiempo la soluciуn уptima corriente para el problema del Carpintero.

    Como otro ejemplo numйrico, consideremos el siguiente problema:

    Maximice 5X1 + 3X2

    Sujeta a:
    X1 + X2 £ 2
    X1 – X2 £ 0
    X1 ³ 0
    X2 ³ 0

    Quizбs recuerden que ya hemos calculado los rangos de sensibilidad con un cambio por vez para este problema en la secciуn Cбlculo de Rangos de Sensibilidad. El rango de sensibilidad para el primer coeficiente de costo es [ 5 – 2, 5 + ¥ ] = [3, ¥ ], mientras que para el segundo coeficiente de costo es [3 – 8, 3 + 2] = [-5, 5]. Se deberнa poder reproducir una figura similar a la anterior ilustrando todas las otras posibilidades de incrementar/disminuir ambos valores de coeficientes de costos como resultado de la aplicaciуn de la regla del 100%, mientras al mismo tiempo se mantiene la soluciуn уptima corriente para este problema.

    Claramente, la aplicaciуn de la regla del 100%, en la forma en que aquн se la presenta, es general y puede extenderse a cualquier problema de PL de mayor magnitud. Sin embargo, a medida que aumenta la magnitud del problema, este tipo de regiуn de sensibilidad se reduce y por lo tanto, resulta menos ъtil para la gestiуn. . Existen tйcnicas mбs poderosas y ъtiles (que proporcionan condiciones necesarias y suficientes a la vez) para manejar cambios simultбneos dependientes (o independientes) de los parбmetros. Para realizar un estudio abarcador de los distintos tipos de anбlisis de sensibilidad en PL con ejemplos numйricos ilustrativos, consъltese el siguiente artнculo:

    Arsham H., Perturbation analysis of general LP models: A unified approach to sensitivity, parametric tolerance, and more-for-less analysis, Mathematical and Computer Modelling , 12, 1437-1446, 1990.

    Aсadir una nueva restricciуn

    Suprimir una restricciуn

    Reemplazar una restricciуn

    Aсadir una variable (por ejemplo, introducir un nuevo producto)

    Suprimir una variable (es decir, cancelar un producto)

    Problema de asignaciуn уptima de recursos

    Maximice 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40, restricciуn de mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50, restricciуn de material
    y ambas X1, X2 son no negativas.

    Recordarбn asimismo que habitualmente las restricciones se clasifican como restricciones del tipo de recurso o de producciуn. Es un hecho que en la mayorнa de los problemas de maximizaciуn, las restricciones de recursos forman parte natural del problema, mientras que en el problema de minimizaciуn, las restricciones de producciуn son la parte mбs importante del problema.

    Supongamos que desea hallar la mejor asignaciуn del recurso mano de obra para el Carpintero. En otras palabras, їcuбl es el mejor nъmero de horas que el Carpintero deberнa asignar a su negocio?

    Tomemos como R el nъmero de horas asignadas, el cual se usarб para determinar su valor уptimo. Por lo tanto, el modelo matemбtico es hallar R1, de modo tal que:

    Maximice 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ R1 restricciуn mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn de material
    y todas las variables X1, X2 y R1 son no negativas.

    Obsйrvese que ahora R1 se trata no como un parбmetro sino como una variable de decisiуn. Es decir, la maximizaciуn se realiza con las tres variables, X1, X2 y R1:

    Maximice 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 – R1 £ 0 restricciуn de mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn de material
    y todas las variables X1, X2 y R1 son no negativas.

    Con software de PL, la soluciуn уptima es X1 = 50, X2 = 0, con una asignaciуn уptima de la mano de obra de R1 = 100 horas. Asн, el valor уptimo es $250.

    Asimismo, obsйrvese que el valor уptimo de asignaciуn de recursos es siempre el mismo como lнmite superior del rango de sensibilidad RHS1 generado por el software.

    Por ejemplo, el incremento permisible en el nъmero de horas es 100 – 40 = 60 horas, con el adicional 250 – 110 = 140.

    Incluso se puede obtener el precio sombra para este recurso usando esta informaciуn. El precio sombra es el нndice de cambio en el valor уptimo con respecto al cambio en el lado derecho. Por lo tanto, (250 – 110)/(100 – 40) = 140/60 = 7/3, que es el precio sombra del RHS1, segъn se hallу por otros mйtodos en las secciones anteriores.

    Determinaciуn de la mнnima utilidad neta del producto

    Se recordarб que en el Problema del Carpintero ambas utilidades netas ($5 y $3) fueron consideradas como entradas incontrolables, es decir, que eran valores determinados por el mercado:

    Maximice 5 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40 restricciуn mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn material.
    Y ambos, X1, X2, son no negativos.

    Aquн, la estrategia уptima es X1 =10, X2 = 20, con un valor уptimo de $110.

    Supongamos que el Carpintero desea conocer el valor mнnimo del primer coeficiente en la funciуn objetivo, que actualmente es $5, para poder producir con rentabilidad el primer producto (las mesas).

    Supуngase que la utilidad neta mнnima es c1 dуlares; por lo tanto, el problema consiste en hallar c1, de manera tal que:

    Maximice c1 X1 + 3 X2

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40 restricciуn mano de obra
    X1 + 2 X2 £ 50 restricciуn material.
    Y todas las variables, X1, X2, c1, son no negativas.

    Ahora, el problema dual del carpintero es:

    Minimice 40 U1 + 50 U2
    Sujeta a:
    2U1 + 1U1 ³ c1 Utilidad neta de una mesa
    1U1 + 2U2 ³ 3 Utilidad neta de una silla.
    Y U1, U2, c1 son no negativas.

    Se observa que ahora la utilidad neta c1 se trata como una variable de decisiуn. La minimizaciуn se hace sobre las tres variables; X1, X2 y c1:

    Minimice 40 U1 + 50 U2
    Sujeta a:
    2U1 + 1U1 – c1 ³ 0
    1U1 + 2U2 ³ 3
    Y U1, U2, c1 son no negativas.

    La implementaciуn de este problema en el paquete de computaciуn muestra que la soluciуn уptima es U1 = $7/3, U2 = $1/3, y c1 = $1.5.

    Se recordarб que existen soluciones alternativas para este valor de frontera del rango de sensibilidad para el coeficiente de costo. La soluciуn correspondiente al lнmite inferior se describe en el rango del anбlisis de sensibilidad del coeficiente de costo, calculado con anterioridad en el Problema del Carpintero. Por lo tanto, la mнnima utilidad neta es siempre la misma que el lнmite inferior del rango de sensibilidad del coeficiente de costo generado por el software.

    Indicadores de metas

    Una de las razones por las cuales los gerentes de empresas sobrestiman la importancia de la estrategia уptima es que las organizaciones con frecuencia usan indicadores como «sustitutos» para satisfacer sus necesidades inmediatas. La mayorнa de los gerentes prestan atenciуn a indicadores tales como la utilidad, el flujo de fondos, el precio de la acciуn, etc. que indican mбs una supervivencia que una meta de optimizaciуn.

    Para resolver el problema de alcanzar la meta, se debe primero aсadir la meta del conjunto de restricciones. Para convertir el problema de alcanzar la meta en un problema de optimizaciуn, se debe crear una funciуn objetivo ficticia. Podrнa ser una combinaciуn lineal del subconjunto de variables de decisiуn. Si se maximiza esta funciуn objetivo se obtendrб una soluciуn factible (si es que existe). Si se minimiza, se podrнa obtener otra (habitualmente en el otro «lado» de la regiуn factible). Se podrнa optimizar con diferentes funciones objetivas.

    Otro abordaje es usar modelos de «Programaciуn de Metas» que manejan con precisiуn problemas de satisfacciуn de restricciones sin necesariamente tener un solo objetivo. Bбsicamente, consideran medidas de violaciуn de restricciones e intentan minimizarlas. Se pueden formular y resolver modelos de programaciуn de metas en PL tradicional, usando cуdigos de soluciуn de PL tradicionales.

    En el algoritmo de soluciуn sin variables artificiales se puede usar una funciуn objetivo ficticia de cero pero no en algunos paquetes de software, tales como el Lindo. Con los paquetes de software se puede maximizar o minimizar cualquier variable como una funciуn objetivo.

    Considere el Ejemplo 1 en la secciуn Inicializaciуn del Mйtodo Sнmplex en un sitio asociado a йste. En lugar de maximizar ahora queremos alcanzar una meta de 4, es decir,

    Meta: -X1 + 2X2 = 4
    sujeta a:
    X1 + X2 ³ 2,
    -X1 + X2 ³ 1,
    X2 £ 3,
    y X1, X2 ³ 0.

    Si se aсade esta meta al conjunto de restricciones y se convierten las restricciones a la forma de igualdad se obtiene:

    X1 + X2 – S1 = 2, -X1 + X2 – S2 = 1, X2 + S3 = 3, y
    X1, X2, S1, S2, S3 ³ 0.

    Una soluciуn es X1 = 2, X2 = 3, S1 = 3, S2 = 0, y S3 = 0.

    Para obtener detalles sobre los algoritmos de soluciones visite el sitio Web Artificial-Free Solution Algorithms.

    Cбlculo de minimax y maximin en una sola corrida

    Como aplicaciуn, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin pйrdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la soluciуn del siguiente problema:

    El problema del minimax:

    Sujeta a:
    2 X1 + X2 £ 40
    X1 + 2 X2 £ 50
    Y ambos, X1, X2, son no negativos.

    El Problema del Minimax equivale a:

    Sujeta a:
    y £ 5×1 + 3X2
    y £ 7X1 + 2X2
    y £ 4X1 + 4X2
    2X1 + X2 £ 40
    X1 + 2X2 £ 50
    Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas.

    Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computaciуn, la soluciуn уptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando sуlo $110 de utilidad neta.

    De modo similar, se puede resolver el minimax de varias funciones objetivos en una sola corrida.

    Situaciones de mбs por menos y menos por mбs

    Maximice X1 + 3X2 + 2X3,
    sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = 9, todas Xi son no negativas.

    Los totales de mano de obra son 4 y 9. El valor уptimo para este problema es $7.

    Ahora, si se cambia la segunda mano de obra disponible de 9 por 12, el valor уptimo serнa $4. Es decir, que se ha trabajado mбs horas por menos utilidad.

    Esta situaciуn surgen frecuentemente y se conoce como «La Paradoja de Mбs por Menos». El recurso nъmero 2 tiene un precio sombra negativo!

    Para hallar el mejor nъmero de horas se debe trabajar para maximizar el ingreso, resolviendo la siguiente PL paramйtrica:

    Maximice X1 + 3X2 + 2X3
    sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = L , L, y todas Xi son no negativas.

    Con LINDO (o WinQSB) se debe resolver:

    Maximice X1 + 3X2 + 2X3
    sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 – L = 0.

    La L уptima es 8 horas, y el valor уptimo es $8!

    La condiciуn necesaria y suficiente para que se dй la situaciуn de mбs por menos/menos por mбs es que existan restricciуn(es) de igualdad con precio(s) sombra negativos para los valore(s) RHS.

    Para obtener mбs informaciуn sobre йsta y otras paradojas visite:
    Counterexamples and Explanations for LP Myths

    El Mйtodo Simplex Clбsico

    Introducciуn

    Mйtodo Algebraico:
    Los modelos de PL con variables de decisiуn multidimensional

    Max( у Min) C.X
    sujeto a:
    AX £ a
    BX ³ b
    DX = d
    con la posibilidad de algunas variables restringidas: algunos Xi’s ³ 0, algunos Xi’s £ 0, y todos los demбs sin restricciуn en el signo.

    Es utilizada la notaciуn comъn: C = para los coeficientes de la funciуn objetivo (conocidos como los coeficientes de costo dado que histуricamente, la primera PL fue un problema de minimizaciуn de costos), y X = se utiliza para las variables de decisiуn.

    A continuaciуn presentamos el procedimiento de cuatro pasos para la soluciуn algebraica del algoritmo:

    Construcciуn de los lнmites del conjunto de restricciones: Transformar todas las desigualdades (excepto la condiciуn de restricciуn de cada variable, si existe alguna) a igualdades, mediante la adiciуn o sustracciуn de variables de exceso o defecto. La construcciуn de los lнmites de las variables de las variables restringidas es incluido en el prуximo paso.

    Encontrar Todos los Vйrtices: Si el nъmero de variables (incluyendo las de exceso y defecto) son mayores al nъmero de ecuaciones, proceda a hacer ceros el siguiente nъmero de variables:

    [(Nъmero total de variables incluyendo las de exceso y defecto) – (Nъmero de ecuaciones)]

    Las variables llevadas a cero son las variables de exceso y defecto y las variables restringidas (cualquier Xi’s ³ 0, у Xi’s £ 0) solamente. Luego de llevar todas estas variables a cero, proceda a encontrar las otras variables mediante la resoluciуn del sistema cuadrado de ecuaciones.

    Note que si Xi ³ 0, entonces podrнa ser escrito como Xi – Si = 0, llevando los Si correspondientes a cero significa que Xi = 0, por lo tanto, no es necesario introducir explнcitamente variables de exceso y defecto. Adicionalmente, note que cuando cualquier Xi no esta restringido en el signo, este no adiciona una restricciуn.

    Comprobar la Factibilidad: Todas las variables de defecto o exceso deben ser no-negativas, y compruebe por la condiciуn de restricciуn (si existe alguna) en cada variable. Cada soluciуn factible es llamada una Soluciуn Factible Bбsica , la cual es el punto en cada esquina de la regiуn de factibilidad.

  • Seleccionar una Esquina Optima: Entre todas las soluciones factibles (i.e., puntos en las esquinas factibles), encuentre el уptimo (si existe alguno) evaluando cada uno en la funciуn objetivo. Podrнan existir soluciones уptimas mъltiples.
  • Recuerde que: un sistema lineal AX=b tiene una soluciуn si y solo si el rango de A es igual al rango de la matriz argumento (A,B).

    Definiciones a Saber:

    Cada soluciуn para cualquier sistema de ecuaciones es llamada una Soluciуn Bбsica (SB) . Todos las SB, que son factibles se les llama Soluciones Factibles Bбsicas (SFB) .
    En cada soluciуn bбsica, las variables, que usted igualo a cero, son llamadas las Variables No-Bбsicas (VNB) , todas la otras variables que se calcularos mediante el sistema de ecuaciones son llamadas Variables Bбsicas (VB) .
    Note que, la lista de las variables de decisiуn, las cuales son las VB para una soluciуn уptima, son absolutamente disponibles en la tabla de soluciones уptimas en QSB.

    Los defectos son los sobrantes de insumos. Los excesos son los sobrantes en la producciуn.

    Nъmero de Soluciones Bбsicas: Despuйs de convertir todas las inigualdades en igualdades, dejemos que T = el nъmero total de variables, incluyendo las de exceso y defecto, E = Nъmero de ecuaciones, y R = el nъmero total de las variables de exceso y defecto, asн como tambiйn las variables de decisiones restringidas, por lo que el nъmero mбximo de soluciones bбsicas es:

    R! / [(T – E)! (R + E – T)!]

    donde ! significa Factoriales. Por ejemplo, 4 ! = (1)(2)(3)(4) = 24. Note que por definiciуn 0 ! = 1.

    Note que, si E > T у T > R + E, la formulaciуn inicial de la PL podrнa estar equivocada. Los remedios para las acciones correctivas son discutidos en la secciуn El Lado Oscuro de la PL: Herramientas para la Validaciуn de Modelos.

    El resultado principal: Si un problema de PL no tiene soluciуn(es) acotadas, el mйtodo algebraico generarб las soluciones.

    Ejemplo 1 : Un Problema sin Ninguna Variable Restringida:

    Max X1 + X2
    sujeto a:
    X1 + X2 ³ 10
    X1 £ 8
    X2 £ 12

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    Introduciendo las variables d defecto y exceso, obtenemos:

    X1 + X2 – S1 = 10
    X1 + S2 = 8
    X2 + S3 = 12

    Para este problema E = 3, T = 5, R = 3, por lo tanto, existen como mбximo 3! / [2! . (3 – 2)! ] = 3 soluciones bбsicas. Para encontrar las soluciones bбsicas, sabemos que existen 3 ecuaciones con 5 incуgnitas, dejando cualquier 2 = 5 – 3 variables de exceso o defecto a cero, y luego resolviendo el sistema de ecuaciones resultante de 3 incуgnitas, obtenemos:

    S1 S2 S3 X1 X2 X1 + X2
    0 0 10 8 2 10
    10 0 0 8 12 20*
    0 10 0 -2 12 10

    La soluciуn уptima es S1= 10, S2 = 0, S3 = 0, X1 = 8, X2 = 12, con un valor уptimo de 20.

    Ejemplo 2: Un Problema con Una variable Restringida:

    El siguiente problema es atribuido a Andreas Enge, y Petra Huhn.

    Maximizar 3X1 + X2 – 4X3
    sujeto a:
    X1 + X2 – X3 =1,
    X2 ³ 2,
    X1 ³ 0

    Luego de agregar la variable de exceso, tenemos:

    Maximizar 3X1 + X2 – 4X3
    sujeto a:
    X1 + X2 – X3 =1,
    X2 – S1 = 2,

    Este problema de PL no puede ser resuelto por el mйtodo grбfico. Sin embargo, el mйtodo algebraico es general en el sentido que no pone ninguna limitaciуn en la dimensionalidad del problema. Note que tenemos dos ecuaciones con una variable de exceso, y una variable de decisiуn restringida. Los parбmetros para este problema son: T= 4, R = 2, y E = 2. Esto nos proporciona el nъmero total de soluciones bбsicas posibles: 2! / [(2!). (0!)] = 1. Haciendo las variables X1 y de exceso iguales a cero:

    Por lo tanto la soluciуn уptima es X1 = 0, X2 = 2, X3 = 1, con un valor уptimo de -2.

    Ejemplo 3: El Problema del Carpintero:

    Introduciendo las variables de exceso y defecto para convertir todas las inigualdades en igualdades, tenemos:

    2X1 + X2 + S1 = 40
    X1 + 2X2 + S2 = 50

    Aquн tenemos 2 ecuaciones con 4 incуgnitas. Dado que las variables X1 y X2 son ambas restringidas, debemos llevar otras dos variables incluyendo estas dos a cero. Resolviendo el sistema de seis ecuaciones resultante, tenemos:

    X1 X2 X3 S1 3X1 + X2 -4X3
    0 2 1 0 -2*

    Por lo tanto, de la tabla anterior, obtenemos que la soluciуn уptima es S1= 0, S2 = 0, X1 = 10, X2 = 20, con un valor уptimo de $110.

    Ejemplo 4: Un Problema con Restricciones Mixtas:

    Min X1 + 2X2
    sujeto a:
    X1 + X2 ³ 4
    -X1 + X2 £ 2
    X1 ³ 0, y X2 son no-restringidas en signo.

    Introduciendo las variables de exceso y defecto, tenemos:

    X1 + X2 – S1 = 4
    -X1 + X2 + S2 = 2

    Aquн tenemos 2 ecuaciones con 4 incуgnitas. Dado que solo X1 es restringida, debemos hacer cero por lo menos dos de las variables S1, S2, y X1. Resolviendo el sistema de seis ecuaciones resultante, tenemos:

    S1 S2 X1 X2 5X1 + 3X2
    0 0 10 20 110*
    0 -30 0 40 no-factible
    0 30 20 0 100
    15 0 0 25 75
    -60 0 50 0 no-factible
    40 50 0 0 0
    X1 X2 S1 S2 X1 + 2X2
    0 4 0 -2 no-factible
    0 2 -2 0 no-factible
    1 3 0 0 7*

    Por lo tanto, de la tabla anterior vemos que la soluciуn уptima es X1 = 1, X2 = 3, S1= 0, S2 = 0, con un valor уptimo de 7.

    Ejemplo 5: Un Problema de Transporte:

    El objetivo es encontrar la forma mas efectiva de transportar bienes. La oferta y demanda de cada origen (por ejemplo, almacenes) O1, O2 y destinos (por ejemplo, mercados) D1 y D2, junto a los costos unitarios de transporte se encuentran resumidos en la tabla siguiente:

    La Matriz de Costos Unitarios de Transporte
    D1 D2 Oferta
    O1 20 30 200
    O2 10 40 100
    Demanda 150 150 300

    Dejemos que los Xij denoten la cantidad de transportaciуn que sale del origen i al destino j. La formulaciуn de la PL del problema de minimizaciуn del costo total de transporte es:

    Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

    sujeto a:
    X11 + X12 = 200
    X21 + X22 = 100
    X11 + X21 = 150
    X12 + X22 = 150
    todos los Xij ³ 0

    dado que este problema de transporte es balanceado (oferta total = demanda total), todas las restricciones estбn en forma de igualdad. Adicionalmente, todas las restricciones son redundantes (agregando dos restricciones cualquiera y sustrayendo alguna otra obtendrнamos la restante.) Eliminemos una restricciуn de tal forma que el problema se reduce a:

    Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

    sujeto a:
    X11 + X12 = 200
    X21 + X22 = 100
    X11 + X21 = 150
    para todos los Xij ³ 0

    Este problema de PL no puede ser resuelto por el mйtodo grбfico. Sin embargo el mйtodo algebraico no tiene limitaciones en las dimensiones del PL. Note que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisiуn restringidas. Haciendo cualquiera de las variables cero, tenemos:

    X11 X12 X21 X22 Costo Total de Transporte
    0 200 150 -50
    no-factible
    200 0 -50 150 no-factible
    150 50 0 100 8500
    50 150 100 0 6500*

    Por lo tanto, la estrategia уptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con por lo menos un coste total de transporte de $6,500.

    Ejemplo 6: Un Problema con Muy Pocas Restricciones:

    Asi como en nuestro ejemplo anterior, considere el problema siguiente:

    Max X1 + X2
    sujeto a:
    X1 + X2 £ 5

    Introduciendo la variable de exceso tenemos:

    Los parбmetros para este problema son: T = 3, R = 1, y E = 1. Esto proporciona el nъmero total de soluciones bбsicas posibles 1! / [(1!). (0!)] = 1. Haciendo la variable de exceso cero, tenemos esta ecuaciуn simple X1 + X2 = 5 con dos variables a resolver. Por lo tanto, no existen esquinas; adicionalmente, la regiуn de factibilidad no se encuentra definida. Sin embrago, cualquier soluciуn arbitraria tal y como X1 = 0, X2 = 5 es una soluciуn уptima al problema de PL, con un valor уptimo de 5.

    Pivoteando Operaciones en Filas

    El pivoteo de GJ serб tambiйn requerido posteriormente cuando utilicemos el Mйtodo Simplex, por lo tanto, ahora es el momento preciso para desarrollar los hбbitos necesarios para los tiempos futuros.

    El pivoteo utiliza operaciones en fila (conocido como las operaciones en fila de Gauss-Jordan) para cambiar una matriz de entrada (la pivote) a «1», y luego cambiar todas las otras entradas en la columna pivote a cero.

    Una vez que el pivote es elegido, las operaciones de pivotaje en fila debe ser como sigue :

    Paso 1: Hacer un pivote «1» mediante la divisiуn de toda la fila pivote por el valor del pivote.

    Paso 2: Hacer el resto de la columna pivote ceros agregando a cada fila a mъltiplo confiable de la fila pivote.

    Note: El nъmero cambiando a «1» llamado pivote, es usualmente encerrado en cнrculo, nunca puede ser cero. Si este valor es cero, intercambie esta fila con otra fila mas abajo que tenga un elemento diferente de cero en esa columna (sino existe ninguno, entonces la conversiуn serб imposible.)

    Un Ejemplo Numйrico: Utilizando la operaciуn de filas de Gauss-Jordan, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

    2X1 + X2 + X3 = 3
    X1 + 3X3 = 1
    2X1 + X2 = 2

    El objetivo es convertir los coeficientes del sistema de ecuaciones en la siguiente matriz identidad. Los resultados de los elementos del Lado de la Mano Derecha (LMD) (?) proporcionan la soluciуn (si esta existe.)

    1 0 0 ?
    0 1 0 ?
    0 0 1 ?

    Paso 1. Utilice las operaciones de fila columna por columna;

    Paso 2. En cada columna:

    a) Primero obtenga 1 en la fila apropiada mediante la multiplicaciуn del recнproco. Note: Si existe un valor cero en esta posiciуn, intercambie con una fila mas abajo en la en la cual se encuentre un valor no-cero (si es posible.)

    b) Reduzca todos los otros valores de la columna a cero mediante la adiciуn del mъltiplo apropiado correspondiente desde la fila que contiene el uno, a cada fila subsiguiente.

    Apliquemos el procedimiento anterior a nuestro ejemplo numйrico.

    Notaciones: Fila vieja [ ], Fila nueva < >. Colocando estas dos matrices una junto a la otra, la matriz argumentada es:

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