Los Números de Fibonacci y la Proporción Aurea

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La proporción áurea y los números de Fibonacci

Hay tres números de gran importancia en las matemáticas: el primero es el número π = 3,14159…. que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro, el segundo es el número e = 2´71828……(inicial del apellido del matemático suizo Leonhard Euler) que aparece como límite de la sucesión de término general

y el tercero es un número designado con la letra griega Φ (inicial del nombre de aquel escultor griego llamado Fidias, que diseñó el templo del Partenón dedicado a la diosa Atenea) también llamado “número de oro” que es una constante matemática irracional, de valor aproximado 1.6180339887 obtenida al hacer la división armónica de un segmento con unas relaciones específicas.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente) por eso se les llama “irracionales” pero tienen una diferencia importante desde el punto de vista matemático y es que los dos primeros “no son la soluciones de ninguna ecuación polinómica” (por eso se les llama trascendentes), mientras que el “número de oro” resulta ser una de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Que es precisamente esta:

Parece ser que el número Φ (también conocido como “razón áurea“) fue descubierto por la escuela de los seguidores de Pitágoras que utilizaban como símbolo una estrella de cinco puntas.

Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios y la casualidad hizo que en su propio símbolo se encontra ese “numero de oro” que es la relación existente entre la diagonal del pentágono y su lado (AC/AB)

Este número se ha usado muchas veces como elemento de diseño en construcciones arquitectónicas para crear belleza, armonía y perfección. Las llamadas “proporciones áureas

Y también lo encontramos en “El hombre de Vitruvio“, una ilustración que Leonardo Da Vinci realizó para el libro “La Divina Proporción” de su amigo Luca Pacioli, editado en 1509 en el se describen las “proporciones áureas del cuerpo humano“. Leonardo las representó por un hombre inscrito en un cuadrado y en un círculo. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja una circunferencia añadiendo un cuadrado cuyo lado es la altura del cuerpo que coincide con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos hacia arriba o formando un ángulo de 90º con el tronco.

En esta imagen el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) resulta ser precisamente ese famoso “número áureo” Φ

Con este número también se construye el “rectángulo de oro“, cuyas longitudes laterales están en la proporción áurea, 1: Φ (es decir, 1:1.618) y que puede construirse con una regla dibujando un cuadrado de longitud 1 (cuadrado rojo) y trazando una línea desde el punto medio de uno de los lado hasta el vértice de la esquina opuesta. Utilizando esa línea como radio dibujamos un arco que al cortar a la prolongación de la vertical del lado nos define otro rectángulo que tiene entre sus lados la “relación áurea” y el valor de Φ.
Un cuadrado muy famoso que sirvió al arquitecto griego Fidias para el alzado del Partenón de Atenas en donde se cumplen las reglas del “rectángulo áureo

En el mismo sus dimensiones cumplen las reglas de que AB/CD=Φ, AC/AD=Φ y CD/CA=Φ

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Los “rectángulos áureos” también tienen otra sorprendente propiedad y es la de que dentro de uno de ellos se pueden meter otros infinitos rectángulos más, de manera que sigan siendo áureos. Así es como se construye la llamada “espiral logarítmica” que utiliza los cuadrados de cada rectángulo áureo mediante el sistema de ir trazando arcos en los mismos con la única condición de elegir el centro conveniente para que esa espiral tenga continuidad. Con los sucesivos puntos en que se divide un “rectángulo áureo” obtenemos los vértices opuestos de los cuadrados para obtener esa “espiral logarítmica” también conocida como “espiral áurea” o “espiral de Bernoulli” porque el matemático suizo, Jakob Bernoulli, quedó tan fascinado por su belleza que ordenó ponerla como epitafio en su tumba.

Es una bella gráfica que está presente en la naturaleza por doquier. Está en los animales con concha (como el “Nautilus”) en la forma de las galaxias,tornados y ciclones, la sigue el vuelo del halcón al atacar a sus presas y en el de algunos insectos al acercarse a la luz. También la tenemos en nuestro oído interno que es una espiral logarítmica perfecta.

Y encontramos también la “proporción áurea” en el crecimiento de las plantas, en la forma de las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en las dimensiones de muchos insectos y pájaros y ha sido a veces utilizada en la literatura como en “El Código Da Vinci” cuando en un aparente malentendido sobre la diferencia entre una cantidad exacta y una aproximación, el personaje de Robert Langdon define incorrectamente esa proporción áurea para ser exactamente 1.618 (ver libro de Brown, 2003, pp. 93-95). También Mozart, la usó en su “Sonata número 1 para piano” en donde subdividió el primer movimiento en 38 y 62 compases y en el segundo en 28 y 46 compases para que se cumpliesen las relaciones 63 / 38 = 1.6315 y 46 / 28 = 1.6428 que son el número Φ

En este vídeo del “Documental Redes” de Eduard Punset podemos documentarnos un poco más sobre los conceptos de la “proporción áurea

Pero existe también una estrecha relación entre la “proporción áurea” y los llamado “números de Fibonacci

Fibonacci fue uno de los más grandes matemáticos europeos de la edad media. Nació en el año 1.170 y murió en el 1.240 y su estatua se encuentra en uno de los extremo de la torre inclinada de Pisa. Su nombre era Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano y el se llamó a sí mismo Fibonacci porque era la abreviación de “Filius Bonacci” o “hijo de Bonacci“, el apellido de su padre Guglielmo Bonacci que era una especie de funcionario de aduanas en una ciudad del norte de África. Se educó allí con un preceptor que le enseño el sistema de numeración árabe (derivado de los numerales indoarábigos) del gran matemático y astrónomo árabe Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi y pronto se dio cuenta de las muchas ventajas de presentaba aquel sistema de numeración basado de diez dígitos con un punto decimal y un símbolo para el cero. En su libro sobre aritmética llamado “Liber abbaci” (libro del ábaco o libro del cálculo de significado) escrito en 1202 convenció a muchos matemáticos europeos, con su famosa “serie”

Página del “Liber Abaci” mostrando la serie (Biblioteca Florencia) Fuente

La serie surgió de un problema que aquel matemático planteó en el año 1202 en su libro “Liber abbaci“. El problema era el siguiente: “cierto hombre puso un par de conejos en un lugar rodeado por todos lados por un muro. ¿Cuántos pares de conejos se pueden producir de ese par de conejos en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra a una nueva pareja que desde el segundo mes ya se convierte en productiva? “

La solución funciona así: una pareja de conejos puede tener descendencia una vez al mes y a partir del segundo mes de vida y los conejos no mueren por lo que cada hembra produce una nueva pareja (conejo, coneja) cada mes, ¿cuántas parejas de conejos existirán en esa granja al cabo de un número dado de meses si cada pareja al mes tiene una nueva pareja que no tendrá conejos hasta que sea adulta?
La cosa funcionaria de este modo:

Al principio tendríamos una pareja de conejos bebés. Numero 1

Al cabo de un mes tendríamos una pareja de conejos adultos (que tendrán bebés el próximo mes…). Numero 1

Al cabo de dos meses tendríamos una pareja de conejos adultos y una pareja de conejos bebés, en total 2 parejas de conejos. Numero 2

Al cabo de tres meses tendríamos dos parejas de conejos adultos y una pareja de conejos bebés, en total 3 parejas de conejos. Numero 3

Al cabo de cuatro meses tendríamos tres parejas de conejos adultos y dos parejas de conejos bebés, en total 5 parejas de conejos. Numero 5

Al cabo de cinco meses tendríamos cinco parejas de conejos adultos y tres parejas de conejos bebés, en total 8 parejas de conejos. Numero 8

Y así sucesivamente. (Solución extraída de esta página)

El resumen de la evolución sigue estas reglas:

1 (Al principio 1 pareja)

1 (Al cabo de 1 mes 1 pareja)

2 (Al cabo de 2 meses 2 parejas )

3 (Al cabo de 3 meses 3 parejas)

5 (Al cabo de 4 meses 5 parejas)

8 (Al cabo de 5 meses 8 parejas)

13 (Al cabo de 6 meses 13 parejas

21 (Al cabo de 7 meses 21 parejas

34 (Al cabo de 8 meses 34 parejas)

Y así sucesivamente. Cada mes, el número de parejas es la suma de los números de los 2 meses anteriores

Así es como la sucesión de los números de parejas de conejos nos da una secuencia de 1, 1, 2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,··· con unas fórmulas de recurrencia de

Que es una serie infinita en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente número

(1+1=2; 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 13+21=34, 21+34=55….)

1, 1, 2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55, 89, 144, ···

Esta serie tiene muchas particularidades. Veamos algunas:

UNO: Si se suman los cuatro primeros términos de la serie y se añade 1, se obtiene el sexto valor de la serie t1+t2+t3+t4+1=t6

Si ahora sumamos los cinco primeros términos y se añade 1, se obtiene el séptimo valor de la serie t1+t2+t3+t4+t5+1=t7

Y así sucesivamente, por ejemplo si sumamos los seis primeros términos y añadimos 1, obtenemos el octavo t1+t2+t3+t4+t5+t6+1=t8

DOS.- La suma de diez elementos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci es igual a 11 veces, el séptimo elemento de ese grupo (no hay que comenzar necesariamente por el primer término de la sucesión)

1, 1, 2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55, ···

t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8+t9+t10= t7 * 11
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 13 * 11 = 143

TRES.- Si sumamos los tres primeros términos que ocupan una posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumamos los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).Si sumamos los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añadimos 1, obtenemos el séptimo término (t7), (1+3+8=12 + 1 =13). Si sumamos los cuatro primeros términos que ocupan una posición par (t2,t4,t6,t8) y añadimos 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 =33 + 1 =34) y así sucesivamente…

CUATRO.- Pero aún hay propiedades más sorprendentes. Por ejemplo si tomamos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5 y los elevamos al cuadrado y los sumamos obtenemos 9+25=34 que es el término de la sucesión resultante de sumar los valores 4 y 5( el término cuarto y el termino quinto (4+5) obteniendo 9 o sea el noveno término de la sucesión

Tomemos los dos siguientes t6=8 y t7=13 los elevamos también al cuadrado y los sumamos. Obtenemos entonces 64+169=233. que es el término de la sucesión resultante de sumar los valores 6 y 7 (el término sexto y el termino séptimo o sea (6+7) obteniendo 13 que es el numero decimotero de la sucesión

QUINTO.- Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, nos sale el producto del quinto y el sexto término:

Si ahora hacemos lo mismo para los seis primeros términos, nos sale el producto del sexto y el séptimo término:

CINCO.- El cuadrado de un término de la sucesión de Fibonacci es igual al producto de los términos que quedan a su derecha e izquierda respectivamente, aumentado o disminuido en una unidad. Esta diferencia va haciéndose alternativamente positiva y negativa.

Hay muchas más propiedades pero quizás la más sorprendente sea la de la división entre dos términos consecutivos de la sucesión (el mayor entre el menor)

1, 1, 2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55, 89, ···

Como vemos, el cociente de la división se aproxima al “número de oro” y cuánto mayores son los términos, este cociente se acercan cada vez más al valor del número Φ. Debido a la relación de la sucesión de Fibonacci con el “número de oro” con la misma también podemos dibujar un”rectángulo de oro“. Por ejemplo, empecemos uno con dos medidas de la serie, el 21 y el 13

Si ahora seguimos dividiéndolo con los números más bajos de esta sucesión (8, 5,3,2 y 1)

Se obtienen rectángulos con dimensiones que encajan perfectamente entre sí como las piezas de un puzzle y que forman cuadrados, de tamaños progresivamente menores. A partir de aquí ya se puede construir “la espiral de Bernoulli“.

Y la naturaleza repite la serie. El crecimiento de las hojas de un árbol sigue la secuencia de Fibonacci

Y en un panal de abejas numerado como el de la figura, el número de posibles trayectos desde la posición inicial hasta la celdilla n, son también los términos de la sucesión de Fibonacci. Partiendo de una posición inicial de la abeja hay una ruta posible hasta la casilla 0, dos rutas hasta la casilla 1, tres rutas hasta la casilla 2, cinco hasta la casilla 3 y así indefinidamente con esta secuencia

En los girasoles, las semillas se distribuyen en forma de espirales logarítmicas y las semillas están apiñadas formando espirales perfectas, que si van en el sentido de las agujas del reloj producen 34 espirales y si es al contrario de las agujas del reloj producen 21 espirales), los números que se encuentran en la sucesión de Fibonacci.

Así es que la “proporción áurea” y los “números de Fibonacci” resultan ser patrones matemático- geométricos repartidos por toda la naturaleza y algo que el hombre empezó a conocer en los tiempos de Pitágoras y que Leonardo de Pisa en el siglo XIII analizó a profundidad. Están por todas partes y nunca me canso de verlo ni dejan de maravillarme.

Vicente Viana Martinez. “La sorprendente sucesión de Fibonacci

Ignacio A. Langarita Felipe.El número de oro

Cook, Theodore Andrea. The Curves of Live. Nueva York.

Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L.

Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Ediciones Akal, S. A.

Huntley, H. E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Proportion. New York

T. Antony Davis. Golden Mean of the Human Body

Fibonacci y la proporciГіn ГЎurea: ВїGeometrГ­a divina?

“Dios algunas veces geometriza”, Platón (427-347 a. C.).

Phi (О¦,П†) -el nГєmero ГЎureo, de oro o de Fibonacci-В es un concepto de sobra conocido y estudiado por matemГЎticos de todos los tiempos, pero que a su vez, tampoco es del todo ajeno para los amantes delВ arte, la biologГ­a, la arquitectura, la mГєsica, la botГЎnica o las finanzas, por ejemplo. No es difГ­cil que se hayan tropezado conВ Г©lВ en cualquiera de estas disciplinas. ВїSignifica esto que es posible entonces encontrar una traducciГіn numГ©rica para todo lo que vemos, oГ­mos o construimos a nuestro alrededor? QuizГЎs la respuesta mГЎs cercana que podamos dar a esta pregunta sea la frase de PlatГіn que abre este artГ­culo.

Sin embargo, sГ­ podemos indagar en un fenГіmeno matemГЎtico que ha atraГ­do la atenciГіn de pensadores de todas las disciplinas y Г©pocas desde que fuera descubierto: la proporciГіn ГЎurea o la divina proporciГіn. Para entrar en materia tenemos que remontarnos aВ la historia del matemГЎtico Leornardo Bigollo (Leonardo Pisano o de Pisa), Fibonacci.

La espiral de Fibonacci

Phi (О¦,П†)В se llama PhiВ gracias al famoso escultor griegoВ FidiasВ (siglo 5 a. C.), autor de grandes hitos arquitectГіnicos comoВ el PartenГіn de Atenas. SegГєn cuentaВ Mario LivioВ en su libroВ “La proporciГіn ГЎurea: La historia de Phi, el nГєmero mГЎs sorprendente del mundo”,В ciertos historiadores sostenГ­an que Fidias habrГ­a utilizado con esmero la proporciГіn ГЎurea en sus obras. Fue por eso que elВ matemГЎtico estadounidenseВ Mark BarrВ decidiГі honrarle nombrando a О¦ con su inicial en griego (Phi). Es decir, Phi, ni fue descubierto por Fibonacci (habГ­a sido ya definido y estudiado porВ Euclides), ni debe su nombre al italiano. Dicho esto, sin embargo, es preciso acudir al hallazgo del italiano para adentrarnos en la potencial capacidad armГіnica de Phi y sus derivados. La sucesiГіn de Fibonacci y el nГєmero de oro son dos caras de la misma moneda.

La sucesiГіn que descubriГі el matemГЎtico pisanoВ (0,1,1,2,3,5,8,13…) entrarГ­a dentro del campo de laВ aritmГ©ticaВ (estudia los nГєmeros y las operaciones elementales que se pueden realizar con ellos). De esta sucesiГіn deriva elВ nГєmero ГЎureo, representado con la letra griegaВ Phi (О¦,П†)В y que sirve para expresar la relaciГіnВ entre dos segmentos de una recta. Es decir, PhiВ es una construcciГіn geomГ©trica (en relaciГіn a las propiedades de las figuras) que surge asГ­:

Phi representado como una lГ­nea dividida en dos segmentos a y b , de tal manera que toda la lГ­nea (a+b) es al segmento mГЎs largo a lo mismo que a es al segmento mГЎs corto b П† = (a+b)/ a = a/ b / Imagen: Wikimedia commons

Si nos valemos del ГЎlgebra para obtenerВ el valor numГ©rico deВ О¦, recurrimos a una ecuaciГіn por la cualВ О¦= a/b.В Por lo tanto, aplicado esto a la representaciГіn grГЎfica del segmento anterior:В cuando dividimos el total В de la longitud del segmento (a+b) entre la parte mГЎs larga (a) obtenemos el mismo resultado que al dividir la parte mГЎs larga (a) entre la mГЎs corta (b). El resultado de esta operaciГіn esВ 1.6180339887… lo que es lo mismo, elВ nГєmero ГЎureoВ definido porВ Euclides,В “un nГєmero infinito e irrepetible”В (Mario Livio).

Curiosamente, esta cifra es la misma a la que se aproxima el resultado de dividir cualquieraВ de los nГєmeros de la sucesiГіn de Fibonacci entre su antecesor (ejemplo: 5/3= 1.666 ; 13/8=1.625 ). Uniendo estos dos aspectos, es decir,В representando mediante la geometrГ­a el concepto aritmГ©tico,В surge una imagen clave para entender por quГ© este artГ­culo puede fascinarte aunque no seas matemГЎtico ni hayas terminado de entender el entramado numГ©rico que hay detrГЎs del descubrimiento de Leonardo el Pisano:В la espiral de Fibonnaci.

ReproducciГіn del proceso para formar la espiral de Fibonacci en relaciГіn a los nГєmeros que forman la sucesiГіn (longitud de los rectГЎngulos cuya uniГіn da como resultado el trazado de la propia espiral) Imagen: lamentiraestaahifuera.com

Ubicuidad, Вїciencia o casualidad?

El nГєmero Phi no deja de sorprender con sus propiedades y, al ser descubierto como relaciГіn o proporciГіn, ha dado lugar a un amplio anГЎlisis de diferentes formas, objetos, representaciones grГЎficas o incluso patrones de movimiento que tienen lugar en nuestro mundo y que teГіricamente estГЎn mГЎs o menos directamente relacionados con esta proporciГіn, la proporciГіn ГЎurea o divina proporciГіn. El rectГЎngulo ГЎureo o la espiral de Fibonacci, son los ejemplos descritos en este artГ­culo, pero tambiГ©n es posible identificar triГЎngulos ГЎureos o pentГЎgonos ГЎureos. Cualquiera de estas formas se define por tener una propiedad comГєn: respeta la proporciГіn ГЎurea.

VГ­deo: CristГіbal Vila

Ahora bien, Вїes tan fГЎcil encontrarse con estas formas “ГЎureas” o “divinas” en el entorno que nos rodea? Es decir, mГЎs allГЎ de disciplinas como la arquitectura o el diseГ±o, que claramente utilizan las formas y la geometrГ­a intencionadamente. ВїQuГ© pasa con la naturaleza o incluso, con el cosmos? La proporciГіn ГЎurea estГЎ en lasВ PirГЎmidesВ de Egipto, en el logo deВ Google, en los pГ©talos de las rosas o en la misma forma de las galaxias. En La Gioconda de Leonardo Da Vinci, en la estructura microscГіpica de algunos cristales o en las partituras de Debussy. ВїEstamos ante el nГєmero mГЎs asombroso del mundo? O por el contrario Вїestamos manipulando la realidad queriendo ver matemГЎticas donde no las hay? Sin duda, despuГ©s de conocer estos datos tenemos que admitir que las matemГЎticasВ tienen una curiosa tendencia a contribuir incluso al conocimiento de materias a las que son, o al menos parecen, totalmente ajenas.

Si quieres profundizar mГЎs en la ubicuidad de la proporciГіn ГЎurea y sorprenderte con la variedad de objetos, elementos naturales e incluso las partes del propio cuerpo humano en las que puedes encontrar esta proporciГіn, no te pierdas este artГ­culo en el que analizamos 9 cosas sorprendentemente “condicionadas” por las matemГЎticas.

Los Números de Fibonacci y la Proporción Aurea

Una propiedad sumamente importante de esta secuencia, es que después de una cierta cantidad de números, la relación de cualquier número con el siguiente número mayor es aproximadamente igual a 0.618, mientras que la relación inversa, es decir de un número con su antecesor, es aproximadamente igual a 1.618. Estos dos valores, 0.618 y 1.618 son conocidos como la Proporción Aúrea o la Media Dorada.

Estas proporciones se encuentran a nuestro alrededor en el mundo natural. Aparecen en la biología, el arte, la música, en la arquitectura y muchos otros campos más. Los siguientes, son algunos ejemplos de como se manifiesta la Proporción Aúrea en el mundo que nos rodea:

  • La forma de los girasoles,
  • La molécula de ADN.
  • Los huracanes.
  • Las galaxias en el espacio exterior.
  • Las conchas de caracol.
  • Los juegos de cartas.

De hecho, el conocido autor William Hoffer, escribió lo siguiente en la revista del Smithsonian en 1975:

«La presencia contínua de los números de Fibonacci y la Proporción Aúrea en la naturaleza explica perfectamente porqué la proporción 0.618034 a 1 es tan agradable en el arte. El hombre puede ver la imagen de la vida en el arte que es basado en la Proporción Aúrea.»

Los traders que conocen sobre la Teoría de Ondas de Elliot , saben muy bien que está se basa principalmente en los números de Fibonacci y la Proporción Aúrea.

Podemos ver una aplicación práctica de los principios de Fibonacci en el trading en la siguiente técnica de trading:

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